NP-полнота задачи о раскраске графа — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (категория)
 
(не показано 28 промежуточных версий 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
== Формулировка задачи==
 
== Формулировка задачи==
Даны граф <math> G = <V, E> </math> и число <math> k </math>. Нужно проверить, правда ли, что можно раскрасить вершины графа в <math> k </math> цветов так, чтобы любые две вершины, соединённые ребром, имели разные цвета.
+
Даны граф <tex> G = \langle V, E \rangle </tex> и число <tex> k </tex>. Необходимо проверить, правда ли, что можно раскрасить вершины графа в <tex> k </tex> цветов так, чтобы любые две вершины, соединённые ребром, имели разные цвета.
  
 
== Утверждение ==
 
== Утверждение ==
Сформулированная выше задача NP-полна.
+
Сформулированная выше задача [[NP-полнота|NP-полна]].
  
 
== Доказательство ==
 
== Доказательство ==
 
=== Доказательство принадлежности задачи классу NP ===
 
=== Доказательство принадлежности задачи классу NP ===
Сертификатом для решения данной задачи будет последовательность <math> \{c_i\}_ {i=1}^{n}</math>, где <math> n = |V| </math>, а <math> c_i </math> обозначает цвет i-ой вершины. Проверку корректности такого сертификата легко осуществить за полиномиальное время, например, перебором всех пар вершин и проверкой того, что в случае, когда они соединены ребром, они имеют разные цвета, лежащие на отрезке <math> [1, k] </math>.
+
Сертификатом для решения данной задачи будет последовательность <tex> \{c_i\}_ {i=1}^{n}</tex>, где <tex> n = |V| </tex>, а <tex> c_i </tex> обозначает цвет <tex>i</tex>-ой вершины. Проверку корректности такого сертификата легко осуществить за полиномиальное время, например, перебором всех пар вершин и проверкой того, что в случае, когда они соединены ребром, они имеют разные цвета, лежащие на отрезке <tex> [1, k] </tex>. С другой стороны, очевидно, что если задача имеет решение, то такой сертификат существует.
 
=== Доказательство принадлежности задачи классу NPH ===
 
=== Доказательство принадлежности задачи классу NPH ===
Сведем задачу 3CNFSAT к данной.<br/>
+
[[Файл:3cnfsat.png|thumb|350px|Граф, построенный по формуле <tex refresh dpi=100> (x_1 \lor \lnot x_2 \lor \lnot x_3) \land (\lnot x_1 \lor x_2 \lor \lnot x_3) \land (\lnot x_1 \lor \lnot x_2 \lor x_3)</tex>]]
Пусть дана <math> \varphi = (a_1 \lor b_1 \lor c_1) \land (a_2 \lor b_2 \lor c_2) \land ... \land (a_m \lor b_m \lor c_m) </math>, где <math>a_i</math>, <math>b_i</math> и <math>c_i</math> - переменные или их отрицания (возможно, с повторениями). Сами переменные будем обозначать <math> \{x_i\}_{i=1}^n </math>.<br/> Заметим следующие тривиальные факты, которые будут использованы при построении графа:
+
Сведем задачу [[3CNFSAT]] к данной.<br/>
# Ровно одно выражение из <math> \{x_i, \lnot {x_i}\} </math> истинно;
+
Пусть дана формула <tex> \varphi = (a_1 \lor b_1 \lor c_1) \land (a_2 \lor b_2 \lor c_2) \land ... \land (a_m \lor b_m \lor c_m) </tex>, где <tex>a_i</tex>, <tex>b_i</tex> и <tex>c_i</tex> &mdash; переменные или их отрицания (возможно, с повторениями). Сами переменные будем обозначать <tex> \{x_i\}_{i=1}^n </tex>.<br/> Заметим следующие тривиальные факты, которые будут использованы при построении графа:
# <math> \varphi \in 3CNFSAT \Leftrightarrow \forall {j} (a_j \lor b_j \lor c_j) = 1 </math>
+
# Ровно одно выражение из <tex> \{x_i, \lnot {x_i}\} </tex> истинно;
Построим множества V и E будущего графа следущим образом:
+
# <tex> \varphi \in 3CNFSAT </tex> тогда и только тогда, когда существует набор, обращающий каждую скобку в истину.
* <math> V = \{c_j\}_{j=0}^m </math>;
+
Построим множества V и E будущего графа следующим образом:
* <math> E = \{<c_i, c_j>\}_{i,j=0, i \ne j}^m </math>;
+
* <tex> V = \{c_i\}_{i=0}^n </tex>;
Будем интерпретировать <math> c_i </math> как цвет, причем <math>c_0</math> - цвет, обозначающий истину.
+
* <tex> E = \{\langle c_i, c_j \rangle \}_{i,j=0, i \ne j}^n </tex>.
* <math> \forall i \in \{1 .. n\} </math> добавим в V вершины <math> v_i, \tilde{v_i} </math>, отвечающие <math> x_i </math> и <math> \lnot {x_i} </math> соответственно;
+
Будем интерпретировать <tex> c_i </tex> как цвет (соотвественно, вершина <tex> c_i </tex> всегда покрашена в цвет <tex> c_i </tex>), причем <tex>c_0</tex> &mdash; цвет, обозначающий истину, а все остальные цвета означают ложь).
* <math> \forall i \in \{1 .. n\} </math> соединим каждую вершину из <math> \{v_i, \tilde{v_i}\} </math> со всеми <math> c_j </math>, кроме <math> c_0 </math> и <math> c_i </math>. Этим мы обеспечили выполнение первого условия из приведенных выше.<br/>
+
* Для всех <tex> i \in \{1 .. n\} </tex> добавим в V вершины <tex> v_i, \tilde{v_i} </tex>, отвечающие <tex> x_i </tex> и <tex> \lnot {x_i} </tex> соответственно, и соединим каждую такую пару ребром;
Осталось сделать так, чтобы возможность сделать истинной каждую скобку соответствовала необходимости покрасить хотя бы одну из вершин, соответствующих переменным в ней, в цвет <math> c_0 </math>.
+
* Каждую вершину из <tex> \{v_i, \tilde{v_i}\} </tex> соединим рёбрами со всеми <tex> c_j </tex>, кроме <tex> c_0 </tex> и <tex> c_i </tex>.
 +
Этим мы обеспечили выполнение первого условия из приведённых выше, так как теперь ровно одна вершина из <tex> \{v_i, \tilde{v_i}\} </tex> окрашена в цвет <tex> c_0 </tex>, а другая &mdash; в цвет <tex> c_i </tex>. <br/>
 +
Осталось сделать так, чтобы возможность сделать истинной каждую скобку соответствовала необходимости покрасить хотя бы одну из вершин, соответствующих переменным в ней, в цвет <tex> c_0 </tex>.
 +
* Для этого для каждой скобки вида <tex> ([\lnot]x_i \lor [\lnot] x_j \lor [\lnot] x_k)_l </tex> добавим вершину <tex> d_l </tex>, соединив её с соответствующими <tex> v_i (\tilde{v_i}), v_j(\tilde{v_j}), v_k(\tilde{v_k}) </tex>, а также со всеми <tex> c_i </tex>, кроме <tex> c_i, c_j, c_k </tex>. Тем самым, <tex> d_l </tex> «не даёт» покрасить все три вершины, отвечающие термам в скобке, в «ложный» цвет (напомним, что все цвета, кроме <tex> c_0 </tex>, мы условились называть «ложными»).<br/>
 +
==== Доказательство корректности сведения ====
 +
Покажем теперь, что такой граф будет <tex>(n+1)</tex>-раскрашиваемым тогда и только тогда, когда исходная формула принадлежит <tex> 3CNFSAT </tex>.
 +
# <tex> \Rightarrow </tex>. Из построения ясно, что можно покрасить вершины полученного графа, соответствующие истинным термам набора, обращающего формулу в истину, в цвет <tex>c_0</tex>, а вершины, соответствующие ложным термам, &mdash; в соответствующие "ложные" цвета.
 +
# <tex> \Leftarrow </tex>. Построим по раскраске графа набор переменных <tex> \{x_i\}_{i=1}^n </tex>, в котором <tex> x_i </tex> истинно тогда и только тогда, когда <tex> v_i </tex> покрашена в цвет <tex> c_0 </tex>. Этот набор непротиворечив (мы не попытались одну и ту же переменную сделать и истинной, и ложной одновременно). Он также обращает формулу в истинную, так как по постронию в каждой скобке есть хотя бы один истинный терм.
 +
 
 +
[[Категория:NP]]
 +
[[Категория:Раскраски графов]]

Текущая версия на 08:24, 26 марта 2021

Формулировка задачи[править]

Даны граф [math] G = \langle V, E \rangle [/math] и число [math] k [/math]. Необходимо проверить, правда ли, что можно раскрасить вершины графа в [math] k [/math] цветов так, чтобы любые две вершины, соединённые ребром, имели разные цвета.

Утверждение[править]

Сформулированная выше задача NP-полна.

Доказательство[править]

Доказательство принадлежности задачи классу NP[править]

Сертификатом для решения данной задачи будет последовательность [math] \{c_i\}_ {i=1}^{n}[/math], где [math] n = |V| [/math], а [math] c_i [/math] обозначает цвет [math]i[/math]-ой вершины. Проверку корректности такого сертификата легко осуществить за полиномиальное время, например, перебором всех пар вершин и проверкой того, что в случае, когда они соединены ребром, они имеют разные цвета, лежащие на отрезке [math] [1, k] [/math]. С другой стороны, очевидно, что если задача имеет решение, то такой сертификат существует.

Доказательство принадлежности задачи классу NPH[править]

Граф, построенный по формуле [math] (x_1 \lor \lnot x_2 \lor \lnot x_3) \land (\lnot x_1 \lor x_2 \lor \lnot x_3) \land (\lnot x_1 \lor \lnot x_2 \lor x_3)[/math]

Сведем задачу 3CNFSAT к данной.
Пусть дана формула [math] \varphi = (a_1 \lor b_1 \lor c_1) \land (a_2 \lor b_2 \lor c_2) \land ... \land (a_m \lor b_m \lor c_m) [/math], где [math]a_i[/math], [math]b_i[/math] и [math]c_i[/math] — переменные или их отрицания (возможно, с повторениями). Сами переменные будем обозначать [math] \{x_i\}_{i=1}^n [/math].
Заметим следующие тривиальные факты, которые будут использованы при построении графа:

  1. Ровно одно выражение из [math] \{x_i, \lnot {x_i}\} [/math] истинно;
  2. [math] \varphi \in 3CNFSAT [/math] тогда и только тогда, когда существует набор, обращающий каждую скобку в истину.

Построим множества V и E будущего графа следующим образом:

  • [math] V = \{c_i\}_{i=0}^n [/math];
  • [math] E = \{\langle c_i, c_j \rangle \}_{i,j=0, i \ne j}^n [/math].

Будем интерпретировать [math] c_i [/math] как цвет (соотвественно, вершина [math] c_i [/math] всегда покрашена в цвет [math] c_i [/math]), причем [math]c_0[/math] — цвет, обозначающий истину, а все остальные цвета означают ложь).

  • Для всех [math] i \in \{1 .. n\} [/math] добавим в V вершины [math] v_i, \tilde{v_i} [/math], отвечающие [math] x_i [/math] и [math] \lnot {x_i} [/math] соответственно, и соединим каждую такую пару ребром;
  • Каждую вершину из [math] \{v_i, \tilde{v_i}\} [/math] соединим рёбрами со всеми [math] c_j [/math], кроме [math] c_0 [/math] и [math] c_i [/math].

Этим мы обеспечили выполнение первого условия из приведённых выше, так как теперь ровно одна вершина из [math] \{v_i, \tilde{v_i}\} [/math] окрашена в цвет [math] c_0 [/math], а другая — в цвет [math] c_i [/math].
Осталось сделать так, чтобы возможность сделать истинной каждую скобку соответствовала необходимости покрасить хотя бы одну из вершин, соответствующих переменным в ней, в цвет [math] c_0 [/math].

  • Для этого для каждой скобки вида [math] ([\lnot]x_i \lor [\lnot] x_j \lor [\lnot] x_k)_l [/math] добавим вершину [math] d_l [/math], соединив её с соответствующими [math] v_i (\tilde{v_i}), v_j(\tilde{v_j}), v_k(\tilde{v_k}) [/math], а также со всеми [math] c_i [/math], кроме [math] c_i, c_j, c_k [/math]. Тем самым, [math] d_l [/math] «не даёт» покрасить все три вершины, отвечающие термам в скобке, в «ложный» цвет (напомним, что все цвета, кроме [math] c_0 [/math], мы условились называть «ложными»).

Доказательство корректности сведения[править]

Покажем теперь, что такой граф будет [math](n+1)[/math]-раскрашиваемым тогда и только тогда, когда исходная формула принадлежит [math] 3CNFSAT [/math].

  1. [math] \Rightarrow [/math]. Из построения ясно, что можно покрасить вершины полученного графа, соответствующие истинным термам набора, обращающего формулу в истину, в цвет [math]c_0[/math], а вершины, соответствующие ложным термам, — в соответствующие "ложные" цвета.
  2. [math] \Leftarrow [/math]. Построим по раскраске графа набор переменных [math] \{x_i\}_{i=1}^n [/math], в котором [math] x_i [/math] истинно тогда и только тогда, когда [math] v_i [/math] покрашена в цвет [math] c_0 [/math]. Этот набор непротиворечив (мы не попытались одну и ту же переменную сделать и истинной, и ложной одновременно). Он также обращает формулу в истинную, так как по постронию в каждой скобке есть хотя бы один истинный терм.