Opij1Cmax

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

[math]O \mid p_{ij} = 1 \mid C_{max}[/math]

Задача:
Дано [math]m[/math] одинаковых станков, которые работают параллельно и [math]n[/math] работ, котороые необходимо выполнить в произвольном порядке на всех станках. Время выполнения каждой работы на любом станке одинаково и равно 1. Необходимо минимизировать время выполнения всех работ.

Алгоритм

Описание алгоритма

Минимальное значение [math] C_{max} [/math] упирается в следующие ограничения:

  1. В допустимом расписании на каждом станке надо обработать каждую работу, поэтому [math] C_{max} \geqslant n [/math].
  2. В допустимом расписании каждую работу нужно обработать на всех станках, причем ее нельзя обрабатывать на двух станках одновременно, поэтому [math] C_{max} \geqslant m [/math].

Тогда [math] C_{max} = \max{(m, n)} [/math].

В случае [math] n \geqslant m [/math] оптимальное расписание строится циклическими сдвигами последовательности [math] 1 \dots n [/math] и выглядит следующим образом:

[math]\textbf1[/math] [math]\textbf2[/math] [math]\textbf3[/math] [math]\bf{\hdots}[/math] [math]\textbf{n - 1}[/math] [math]\textbf{n}[/math]
[math]\bf{M_1}[/math] [math]1[/math] [math]2[/math] [math]3[/math] [math]\hdots[/math] [math]n - 1[/math] [math]n[/math]
[math]\bf{M_2}[/math] [math]n[/math] [math]1[/math] [math]2[/math] [math]\hdots[/math] [math]n - 2[/math] [math]n - 1[/math]
[math]\bf{M_3}[/math] [math]n - 1[/math] [math]n[/math] [math]1[/math] [math]\hdots[/math] [math]n - 3[/math] [math]n - 2[/math]
[math]\bf{\vdots}[/math] [math]\vdots[/math] [math]\vdots[/math] [math]\vdots[/math] [math]\ddots[/math] [math]\vdots[/math] [math]\vdots[/math]
[math]\bf{M_m}[/math] [math]n - m + 2[/math] [math]n - m + 3[/math] [math]n - m + 4[/math] [math]\hdots[/math] [math]n - m[/math] [math]n - m + 1[/math]

Если же [math] n \lt m [/math], добавим [math] m - n [/math] фиктивных работ с номерами [math] n + 1 \dots m [/math], построим расписание способом выше и удалим из полученного расписания фиктивные работы.

Оценка сложности алгоритма

Минимальное значение [math] C_{max} [/math] вычисляется за [math] \mathcal{O}(1) [/math] времени. Построение расписания сводится к заполнению матрицы размером [math] m \times \max{(m, n)} [/math] и выполняется за [math] \mathcal{O}(m \dot (m + n)) [/math] времени.

См. также.