PCP-система

PCP(probabilistically checkable proof) - вид доказательства, проверяемого рандомизированным алгоритмом, использующим ограниченное число случайных бит и читающим ограниченное число бит доказательства. Такой алгоритм должен с достаточно высокими вероятностями принимать корректные доказательства и отвергать ошибочные.

Определения

Определение:

[math]\mathrm{PCP}[/math]-системой(системой вероятностно проверяемых доказательств) с полнотой [math]c(n)[/math] и обоснованностью [math]s(n)[/math] над алфавитом [math]\Sigma[/math] для языка [math]L[/math], где [math]0 \le s(n) \le c(n) \le 1[/math], называется пара [math]V[/math] — вероятностная машина Тьюринга имеющая доступ к цепочке [math]\pi \in \Sigma^{*} : |\pi| \le 2^{poly(|input|)}[/math] — доказательству, удовлетворяющая следующим свойствам: Полнота: если [math]x \in L[/math], то [math]P(V^{\pi}(x)=1) \ge c(n)[/math] для некоторой [math]\pi[/math]. Обоснованность: если [math]x \notin L[/math], то [math]P(V^{\pi}(x)=1) \le s(n)[/math] для любой [math]\pi[/math].

Определение:

Randomness complexity(вероятностной сложностью) [math]r(n)[/math] верификатора [math]V[/math] называется число случайных битов, которое он использует за всё время работы со входом длины [math]n[/math].

Определение:

Query complexity(запросовой сложностью) [math]q(n)[/math] верификатора [math]V[/math] называется число запросов битов из [math]\pi[/math], которое он отсылает за всё время работы со входом длины [math]n[/math].

Определение:

Верификатор [math]V[/math] называется non-adaptive(неадаптивным), если при отправке запроса не использует ответы на предыдущие. Иными словами, его работа не изменится, если все свои запросы он отправит одновременно.

Определение:

Сложностный класс [math]\mathrm{PCP}_{c(n), s(n)}[r(n), q(n)][/math] является объединением языков всех [math]L[/math], для которых существует [math]\mathrm{PCP}[/math]-система над бинарным алфавитом с полнотой [math]c(n)[/math] и обоснованностью [math]s(n)[/math], в которой верификатор [math]V[/math] неадаптивный, работает за полиномиальное время и имеет вероятностную и запросовую сложности соответственно [math]r(n)[/math] и [math]q(n)[/math]. Часто [math]\mathrm{PCP}_{1, {}^1/{}_2}[r(n), q(n)][/math] обозначают как [math]\mathrm{PCP}[r(n), q(n)][/math].

Свойства

Теорема:

[math]\mathrm{PCP}[0, 0][/math] = [math]\mathrm{PCP}[O(log(n)), 0][/math] = [math]\mathrm{PCP}[0, O(log(n))][/math] = [math]\mathrm{P}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\mathrm{PCP}[0, 0][/math] = [math]\mathrm{P}[/math]: вероятностная МТ не использует случайные биты и не обращается к доказательству, то есть является обычной детерминированной МТ, работающей за полиномиальное время. [math]\mathrm{PCP}[O(log(n)), 0][/math] = [math]\mathrm{P}[/math]: доступ к [math]O(log(n))[/math] случайных бит не меняет ситуации, так как все возможные строки логарифмической длины детерминированная МТ может сгенерировать и проверить за полиномиальное время. [math]\mathrm{PCP}[0, O(log(n))][/math] = [math]\mathrm{P}[/math]: так как доступа к случайным битам нет, доказательство можно рассматривать как строку логарифмической длины. Все возможные такие строки детерминированная МТ может сгенерировать и проверить за полиномиальное время.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

[math]\mathrm{PCP}[poly(n), 0][/math] = [math]\mathrm{coRP}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Определение coRP

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

[math]\mathrm{PCP}[0, poly(n)][/math] = [math]\mathrm{NP}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Определение Σ₁

[math]\triangleleft[/math]

Пример

Теорема:

Graph Nonisomorphism(GNI) [math]\in \mathrm{PCP}[poly(n), O(1)][/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Даны графы на [math]n[/math] вершинах [math]G_1[/math] и [math]G_2[/math]. Требуется проверить, изоморфны ли они друг другу. Сперва пронумеруем все возможные графы на [math]n[/math] вершинах. Не умаляя общности, будем считать, что [math]\pi[/math] над троичным алфавитом. Будем считать корректной [math]\pi[/math]: [math]\pi[k] = 0[/math] тогда и только тогда, когда граф номер [math]k[/math] изоморфен [math]G_1[/math] и [math]G_2[/math]; [math]\pi[k] = 1[/math] тогда и только тогда, когда граф номер [math]k[/math] изоморфен [math]G_1[/math] и неизоморфен [math]G_2[/math]; [math]\pi[k] = 2[/math] тогда и только тогда, когда граф номер [math]k[/math] неизоморфен [math]G_1[/math] и изоморфен [math]G_2[/math]. Верификатором [math]V[/math] будет вероятностная МТ, работающая эквивалентно следующему псевдокоду: p([math]\langle G_1, G_2 \rangle[/math]) { i = random{1, 2}; [math]\phi[/math] = random permutation{1..n}; [math]H[/math] = [math]\phi(G_i)[/math]; return [math]\pi[\#H] == i[/math]; } Проверим полноту и обоснованность: Полнота: если графы неизоморфны, то существует [math]\pi[/math] такая, что всякий её символ равен 1 или 2 и задан корректно. Тогда на этой [math]\pi[/math] верификатор всегда вернёт 1. Обоснованность: если графы изоморфны, то благодаря случайному выбору [math]i[/math] вероятность ошибки не превышает [math]{}^1/{}^2[/math].

[math]\triangleleft[/math]