PS-полнота задачи Generalized geography — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(рисунок в доказательстве)
 
(не показано 13 промежуточных версий 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
== Формулировка задачи==
 
== Формулировка задачи==
 +
 +
[[Файл:Generalized_geography_1.png|thumb|350px| Рис. 1. Граф для игры в города в штате Мичиган]]
 +
 
Города (Geography) - игра, в которой игроки по очереди называют города со всего мира. Каждый город должен начинаться с той буквы, на которую заканчивается предыдущий, повторы запрещены. Игра начинается с любого города, и заканчивается, когда игрок проигрывает и не может назвать новый город.
 
Города (Geography) - игра, в которой игроки по очереди называют города со всего мира. Каждый город должен начинаться с той буквы, на которую заканчивается предыдущий, повторы запрещены. Игра начинается с любого города, и заканчивается, когда игрок проигрывает и не может назвать новый город.
  
 
=== Графическая модель ===
 
=== Графическая модель ===
Для визуализации задачи можно построить ориентированный граф, где каждая вершина - имя города, а ребро из А в Б означает, что город Б начинается на ту же букву, на которую заканчивается город А. Ход игрока - переход из текущей вершины в новую, ранее не посещенную, по соответствующему ребру. Проигрывает тот, кто не может сделать ни одного перехода. Например, граф для игры в городки в штате Мичиган может выглядеть так:
 
  
[[Файл:Generalized_geography_1.png]]
+
Для визуализации задачи можно построить ориентированный граф, где каждая вершина - имя города, а ориентированное ребро из А в Б означает, что город Б начинается на ту же букву, на которую заканчивается город А. Ход игрока - переход из текущей вершины в новую, ранее не посещенную, по соответствующему ребру. Проигрывает тот, кто не может сделать ни одного перехода (см. рис. 1).
 +
 
 +
[[Файл:Generalized_geography_2.png|thumb|350px| Рис. 2. Пример графа для игры в Generalized Geography]]
  
 
В игре Generalized Geography (Обобщенные города) мы заменяем граф с городами на некоторый абстрактный ориентированный граф. Игроки по очереди переходят из вершины в вершину, и проигрывает тот, кто не может сделать новый ход (перейти в ранее не посещенную вершину).
 
В игре Generalized Geography (Обобщенные города) мы заменяем граф с городами на некоторый абстрактный ориентированный граф. Игроки по очереди переходят из вершины в вершину, и проигрывает тот, кто не может сделать новый ход (перейти в ранее не посещенную вершину).
  
Рассмотрим пример такой игры. Пусть P1 - игрок, который ходит первым, и  P2 - игрок, который ходит вторым. Здесь первый игрок обладает следующей выигрышной стратегией(игра начинается с первой вершины): делает ход в вершину 2, после чего второй игрок переходит в вершину 4, так как это единственный вариант. Первый игрок ходит в вершину 5, и второй выбирает между вершинами 3 и 7. Но независимо от выбора второго игрока, первый может перейти в вершину 9, откуда второй игрок никуда не может пойти.
+
Рассмотрим пример (рис. 2). Пусть P1 - игрок, который ходит первым, и  P2 - игрок, который ходит вторым. Игра начинается с первой вершины. Здесь игрок P1 обладает следующей выигрышной стратегией: делает ход в вершину 2, после чего P2 переходит в вершину 4, так как это единственный вариант. Первый игрок ходит в вершину 5, и второй выбирает между вершинами 3 и 7. Но независимо от выбора игрока P2, P1 может перейти в вершину 9, откуда второй игрок никуда не может пойти.
 
 
[[Файл:Generalized_geography_2.png]]
 
  
 
== Утверждение ==
 
== Утверждение ==
  
Сформулируем задачу так: по данному ориентированному графу выяснить, обладает ли первый игрок выигрышной стратегией, стартуя в вершине с номером х.
+
Язык <tex> GG = \{ \langle G, b \rangle | </tex> первый игрок в графе <tex> G </tex>, начиная игру с вершины <tex> b </tex>, обладает выигрышной стратегией <tex> \} </tex> является [[Класс_PS|PS-полным]].
 
 
Эта задача PS-полна.
 
  
 
== Доказательство ==
 
== Доказательство ==
 
=== Доказательство принадлежности задачи классу PS ===
 
=== Доказательство принадлежности задачи классу PS ===
  
Чтобы показать, что задача принадлежит классы PS, предъявим алгоритм, работающий на полиномиальной памяти, определяющий, обладает ли игрок выигрышной стратегией находясь в вершине v графа G.
+
Чтобы показать, что язык принадлежит классу PS, предъявим алгоритм, работающий на полиномиальной памяти, определяющий, обладает ли игрок выигрышной стратегией находясь в вершине v графа G.
  
Алгоритм M(<G,v>):
+
Алгоритм <tex> M ( \langle G, b \rangle ) </tex> :
  
 
1. Если из вершины, в которой находится игрок, не ведет ни одного ребра в непосещенные ранее вершины, то вернем FALSE, мы проиграли.
 
1. Если из вершины, в которой находится игрок, не ведет ни одного ребра в непосещенные ранее вершины, то вернем FALSE, мы проиграли.
Строка 34: Строка 34:
 
=== Доказательство принадлежности задачи классу PSH ===
 
=== Доказательство принадлежности задачи классу PSH ===
  
Для доказательства этого факта сведем задачу о выполнимости булевой формулы с предваряющими кванторами в форме КНФ (эта задача PS-трудная) к Generalized Geography за полиномиальное время.  
+
Для доказательства этого факта сведем задачу о выполнимости булевой КНФ-формулы с предваряющими кванторами (эта задача [[Класс_PS|PS-трудная]]) к Generalized Geography за полиномиальное время. Для этого рассмотрим задачу о выполнимости КНФ-формулы с предваряющими кванторами как [[Интерпретация_БФ_с_кванторами_как_игры_для_двух_игроков|игру двух игроков <tex> \exists </tex> и <tex> \forall </tex>]].
 +
 
 +
Если в нашей формуле с предваряющими кванторами последний квантор - не <tex> \exists </tex>, то добавим его, введя дополнительную переменную. Таким образом для игры двух игроков <tex> \exists </tex> и <tex> \forall </tex> наша формула представима в следующем виде:
 +
<tex> \varphi = \exists x_1 \forall x_2 \exists x_3 ... \exists x_n ( \psi ) </tex> , где <tex> \psi </tex> - некая КНФ-формула.
 +
 
 +
[[Файл:Generalized_geography_3.png|thumb|350px| Рис. 3. Модель графа для сведения задачи об игре двух игроков <tex> \exists </tex> и <tex> \forall </tex> к задаче GG]]
 +
 
 +
Для любой такой КНФ-формулы с предваряющими кванторами можно построить граф, аналогичный приведенному на рисунке 3. Рассмотрим этот граф, и докажем, что это сведение задачи об игре игроков <tex> \exists </tex> и <tex> \forall </tex> к задаче Generalized Geography.
 +
 
 +
Левый столбец в этом графе описывает процедуру выборки игроками <tex> \exists </tex> и <tex> \forall </tex> значений переменных, если игрок выбирает TRUE, он идет в левую сторону, иначе в правую.
  
Булева формула с кванторами имеет следующий вид: φ = Q<sub>1</sub>''x''<sub>1</sub> Q<sub>2</sub>''x''<sub>2</sub> Q<sub>3</sub>''x''<sub>3</sub> ...''Q<sub>k</sub>x<sub>k</sub>''(ψ) где ''Q<sub>i</sub>'' квантор ∃ или ∀. Заметим, что любую такую формулу можно преобразовать к виду φ = ∃''x''<sub>1</sub> ∀''x''<sub>2</sub> ∃''x''<sub>3</sub> ...∃''x<sub>k</sub>''(ψ) , добавив необходимое количество переменных с кванторами. Если булева формула возвращает TRUE после ходов игроков По-любому и Существует, то выиграл Существует, иначе выиграл По-любому.
+
Зафиксировав значения переменных, игрок <tex> \forall </tex> .к. в нашей КНФ-формуле с предваряющими кванторами последний квантор <tex> \exists </tex>) выбирает скобку, значение которой должно быть FALSE (тогда он выиграет!). На рисунке каждая скобка - отдельная вершина <tex> c_i </tex>.  
  
[[Файл:Generalized_geography_3.png]]
+
После того, как игрок <tex> \forall </tex> зафиксировал скобку, игрок <tex> \exists </tex> долджен выбрать переменную, значение которой не ноль (игроки уже зафиксировали значения переменных в самом начале) и сделать переход в соответсвующую вершинку. Т.к. значение этой переменной не ноль, то игрок <tex> \forall </tex> не сможет никуда пойти из этой вершины (тогда <tex> \exists </tex> выиграл, первый игрок обладает выигрышной стратегией в игре Generalized Geography). Для этого проведем ребра из каждый скобки <tex> c_i </tex> в вершины-переменные, учавствующие в этой скобке, а от них проведем ребра к вершинам левого столбца, соответсвующим выборам TRUE или FALSE значений переменных.
  
Построив граф, аналогичный приведенному на рисунке, для любой булевой формулы с кванторами, мы сможем свести задачу о выигрывании игрока Существует к задаче о наличии выигрышной стратегии у первого игрока в Generalized Geography.
+
Таким образом, если игрок <tex> \exists </tex> выигрывает, то автоматически обладает выигрышной стратегией и первый игрок в Generalized Geography. Он знает, какие значения переменных надо выбрать, и в какую вершину пойти в конце. Аналогично, по выигрышной стратегии первого игрока в Generalized Geography можно узнать, какие значения переменных должен выбрать игрок <tex> \exists </tex> для того, чтобы удовлетворить формулу.  
  
Левый столбец описывает процедуру выборки игроками значений переменных, если игрок выбирает TRUE, он идет в левую сторону, иначе в правую.
+
Мы свели задачу об игре игроков <tex> \exists </tex> и <tex> \forall </tex> к задаче Generalized Geography. Очевидно, сведение будет произведено за полиномиальное время. Значит, язык <tex> GG </tex> является PS-трудным, а так как выше мы доказали его принадлежность классу PS, то и PS-полным.
  
Зафиксировав значения переменных, игрок По-любому (т.к. в нашей КНФ-формуле с предворяющими кванторами последний квантор Существует) выбирает скобку, значение которой может быть FALSE (тогда он выиграет!). На рисунке каждая скобка - отдельная вершина ci.
+
== Внешние ссылки ==
  
После того, как игрок По-Любому зафиксировал скобку, игрок Существует выбирает переменную, значение которой не ноль (игроки уже зафиксировали значения переменных в самом начале) и делает переход в соответсвующую вершинку. Т.к. значение этой переменной не ноль, то игрок По-любому не сможет никуда пойти из этой вершины. Для этого проведем ребра из каждый скобки в вершины, соответствующие выбору TRUE или FALSE значений переменных.
+
[http://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_geography Generalized Geography в английской википедии. ]

Текущая версия на 16:20, 1 апреля 2010

Формулировка задачи[править]

Рис. 1. Граф для игры в города в штате Мичиган

Города (Geography) - игра, в которой игроки по очереди называют города со всего мира. Каждый город должен начинаться с той буквы, на которую заканчивается предыдущий, повторы запрещены. Игра начинается с любого города, и заканчивается, когда игрок проигрывает и не может назвать новый город.

Графическая модель[править]

Для визуализации задачи можно построить ориентированный граф, где каждая вершина - имя города, а ориентированное ребро из А в Б означает, что город Б начинается на ту же букву, на которую заканчивается город А. Ход игрока - переход из текущей вершины в новую, ранее не посещенную, по соответствующему ребру. Проигрывает тот, кто не может сделать ни одного перехода (см. рис. 1).

Рис. 2. Пример графа для игры в Generalized Geography

В игре Generalized Geography (Обобщенные города) мы заменяем граф с городами на некоторый абстрактный ориентированный граф. Игроки по очереди переходят из вершины в вершину, и проигрывает тот, кто не может сделать новый ход (перейти в ранее не посещенную вершину).

Рассмотрим пример (рис. 2). Пусть P1 - игрок, который ходит первым, и P2 - игрок, который ходит вторым. Игра начинается с первой вершины. Здесь игрок P1 обладает следующей выигрышной стратегией: делает ход в вершину 2, после чего P2 переходит в вершину 4, так как это единственный вариант. Первый игрок ходит в вершину 5, и второй выбирает между вершинами 3 и 7. Но независимо от выбора игрока P2, P1 может перейти в вершину 9, откуда второй игрок никуда не может пойти.

Утверждение[править]

Язык [math] GG = \{ \langle G, b \rangle | [/math] первый игрок в графе [math] G [/math], начиная игру с вершины [math] b [/math], обладает выигрышной стратегией [math] \} [/math] является PS-полным.

Доказательство[править]

Доказательство принадлежности задачи классу PS[править]

Чтобы показать, что язык принадлежит классу PS, предъявим алгоритм, работающий на полиномиальной памяти, определяющий, обладает ли игрок выигрышной стратегией находясь в вершине v графа G.

Алгоритм [math] M ( \langle G, b \rangle ) [/math] :

1. Если из вершины, в которой находится игрок, не ведет ни одного ребра в непосещенные ранее вершины, то вернем FALSE, мы проиграли.

2. Иначе запустим этот же алгоритм от всех вершин, в которые можно пойти, и если везде вернется TRUE, вернем FALSE, куда бы мы ни пошли, второй игрок выиграет. Если же хоть из одной вершины функция вернула FALSE, то вернем TRUE, в этой вершине второй игрок проигрывает.

Этот алгоритм перебором находит выигрышную стратегию для первого игрока, и очевидно, требует полиномиальную память: на каждом шаге одна или более вершин помечаются как посещенные, и более не обрабатываются.

Доказательство принадлежности задачи классу PSH[править]

Для доказательства этого факта сведем задачу о выполнимости булевой КНФ-формулы с предваряющими кванторами (эта задача PS-трудная) к Generalized Geography за полиномиальное время. Для этого рассмотрим задачу о выполнимости КНФ-формулы с предваряющими кванторами как игру двух игроков [math] \exists [/math] и [math] \forall [/math].

Если в нашей формуле с предваряющими кванторами последний квантор - не [math] \exists [/math], то добавим его, введя дополнительную переменную. Таким образом для игры двух игроков [math] \exists [/math] и [math] \forall [/math] наша формула представима в следующем виде: [math] \varphi = \exists x_1 \forall x_2 \exists x_3 ... \exists x_n ( \psi ) [/math] , где [math] \psi [/math] - некая КНФ-формула.

Рис. 3. Модель графа для сведения задачи об игре двух игроков [math] \exists [/math] и [math] \forall [/math] к задаче GG

Для любой такой КНФ-формулы с предваряющими кванторами можно построить граф, аналогичный приведенному на рисунке 3. Рассмотрим этот граф, и докажем, что это сведение задачи об игре игроков [math] \exists [/math] и [math] \forall [/math] к задаче Generalized Geography.

Левый столбец в этом графе описывает процедуру выборки игроками [math] \exists [/math] и [math] \forall [/math] значений переменных, если игрок выбирает TRUE, он идет в левую сторону, иначе в правую.

Зафиксировав значения переменных, игрок [math] \forall [/math] (т.к. в нашей КНФ-формуле с предваряющими кванторами последний квантор [math] \exists [/math]) выбирает скобку, значение которой должно быть FALSE (тогда он выиграет!). На рисунке каждая скобка - отдельная вершина [math] c_i [/math].

После того, как игрок [math] \forall [/math] зафиксировал скобку, игрок [math] \exists [/math] долджен выбрать переменную, значение которой не ноль (игроки уже зафиксировали значения переменных в самом начале) и сделать переход в соответсвующую вершинку. Т.к. значение этой переменной не ноль, то игрок [math] \forall [/math] не сможет никуда пойти из этой вершины (тогда [math] \exists [/math] выиграл, первый игрок обладает выигрышной стратегией в игре Generalized Geography). Для этого проведем ребра из каждый скобки [math] c_i [/math] в вершины-переменные, учавствующие в этой скобке, а от них проведем ребра к вершинам левого столбца, соответсвующим выборам TRUE или FALSE значений переменных.

Таким образом, если игрок [math] \exists [/math] выигрывает, то автоматически обладает выигрышной стратегией и первый игрок в Generalized Geography. Он знает, какие значения переменных надо выбрать, и в какую вершину пойти в конце. Аналогично, по выигрышной стратегии первого игрока в Generalized Geography можно узнать, какие значения переменных должен выбрать игрок [math] \exists [/math] для того, чтобы удовлетворить формулу.

Мы свели задачу об игре игроков [math] \exists [/math] и [math] \forall [/math] к задаче Generalized Geography. Очевидно, сведение будет произведено за полиномиальное время. Значит, язык [math] GG [/math] является PS-трудным, а так как выше мы доказали его принадлежность классу PS, то и PS-полным.

Внешние ссылки[править]

Generalized Geography в английской википедии.