PS-полнота языка верных булевых формул с кванторами (TQBF) — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
Строка 3: Строка 3:
 
<tex>TQBF=\{Q_1 x_1 Q_2 x_2 \cdots Q_n x_n \phi(x_1, x_2, \dots, x_n), Q_i \in \{\forall, \exists\}\}</tex>
 
<tex>TQBF=\{Q_1 x_1 Q_2 x_2 \cdots Q_n x_n \phi(x_1, x_2, \dots, x_n), Q_i \in \{\forall, \exists\}\}</tex>
 
}}
 
}}
Чтобы доказать, что <tex>TQBF \in PSPACE-complete</tex>, необходимо показать, что эта задача принадлежит <tex>PSPACE</tex> и что она <tex>PSPACE</tex>-трудная.
+
Чтобы доказать, что <tex>TQBF \in \mathrm{PSC}</tex>, необходимо показать, что <tex>TQBF \in \mathrm{PSH}</tex> и <tex>TQBF \in \mathrm{PS}</tex>.
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|about=1
 
|about=1
|statement=<tex>TQBF \in PSPASE</tex>
+
|statement=<tex>TQBF \in \mathrm{PS}</tex>
 
|proof=Чтобы доказать это, просто приведём программу <tex>solve</tex>, решающую булеву формулу с кванторами на <tex>O(n)</tex> дополнительной памяти и работающую за конечное время.
 
|proof=Чтобы доказать это, просто приведём программу <tex>solve</tex>, решающую булеву формулу с кванторами на <tex>O(n)</tex> дополнительной памяти и работающую за конечное время.
 
  <tex>solve(Q_1 x_1 Q_2 x_2 \cdots Q_n x_n \phi(x_1, x_2, \dots, x_n))</tex>
 
  <tex>solve(Q_1 x_1 Q_2 x_2 \cdots Q_n x_n \phi(x_1, x_2, \dots, x_n))</tex>
Строка 17: Строка 17:
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|about=2
 
|about=2
|statement=<tex> \forall L \in PS , L \leq_p TQBF</tex>
+
|statement=<tex>TQBF \in \mathrm{PSH}</tex>.
|proof=Рассмотрим какой-то язык <tex>L \in PSPACE</tex>.  
+
|proof=Рассмотрим язык <tex>L \in \mathrm{PS}</tex>.  
 
Построим функцию <tex>f \colon \forall x \in L \Leftrightarrow f(x) \in TQBF</tex>.
 
Построим функцию <tex>f \colon \forall x \in L \Leftrightarrow f(x) \in TQBF</tex>.
Так как <tex>L \in PSPACE</tex>, то существует какая-то детерминированная машина Тьюринга <tex>M</tex>, которая его распознаёт за полиномиальное от размера входа время.
+
Так как <tex>L \in \mathrm{PS}</tex>, то существует какая-то детерминированная машина Тьюринга <tex>M</tex>, которая его распознаёт за полиномиальное от размера входа время.
 
Пусть <tex>I</tex> — мгновенное описание <tex>M</tex>, тогда выражение <tex>\exists I</tex> обозначает <tex> (\exists x_1) (\exists x_2)\cdots(\exists x_n)</tex>, где <tex>\{x_i\}</tex> — все переменные мгновенного описания <tex>M</tex>. Аналогично выражение <tex> \forall I</tex> обозначает <tex> (\forall x_1) (\forall x_2)\dots(\forall x_n)</tex>. Теперь рассмотрим два мгновенных описание <tex>M: A</tex> и <tex>B</tex>. Напишем рекурсивную функцию <tex>\phi(A, B, t)</tex>, которая будет переводить утверждение <tex>A\vdash^tB</tex> в TQBF за полиномиальное относительно длины входа время.  
 
Пусть <tex>I</tex> — мгновенное описание <tex>M</tex>, тогда выражение <tex>\exists I</tex> обозначает <tex> (\exists x_1) (\exists x_2)\cdots(\exists x_n)</tex>, где <tex>\{x_i\}</tex> — все переменные мгновенного описания <tex>M</tex>. Аналогично выражение <tex> \forall I</tex> обозначает <tex> (\forall x_1) (\forall x_2)\dots(\forall x_n)</tex>. Теперь рассмотрим два мгновенных описание <tex>M: A</tex> и <tex>B</tex>. Напишем рекурсивную функцию <tex>\phi(A, B, t)</tex>, которая будет переводить утверждение <tex>A\vdash^tB</tex> в TQBF за полиномиальное относительно длины входа время.  
  
Строка 35: Строка 35:
  
 
Если <tex>w \not\in L</tex>, то если мы зададим корректное стартовое состояние, то пути до корректного финишного состояния существовать не может.
 
Если <tex>w \not\in L</tex>, то если мы зададим корректное стартовое состояние, то пути до корректного финишного состояния существовать не может.
 +
 +
Таким образом, <tex>TQBF \in \mathrm{PSH}</tex>.
 
}}
 
}}
  
 
[[Категория: Теория сложности]]
 
[[Категория: Теория сложности]]

Версия 00:43, 2 июня 2012

Определение:
[math]TQBF[/math] расшифровывается как True Quantified Boolean Formula. Это язык верных булевых формул с кванторами. [math]TQBF=\{Q_1 x_1 Q_2 x_2 \cdots Q_n x_n \phi(x_1, x_2, \dots, x_n), Q_i \in \{\forall, \exists\}\}[/math]

Чтобы доказать, что [math]TQBF \in \mathrm{PSC}[/math], необходимо показать, что [math]TQBF \in \mathrm{PSH}[/math] и [math]TQBF \in \mathrm{PS}[/math].

Лемма (1):
[math]TQBF \in \mathrm{PS}[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Чтобы доказать это, просто приведём программу [math]solve[/math], решающую булеву формулу с кванторами на [math]O(n)[/math] дополнительной памяти и работающую за конечное время.

[math]solve(Q_1 x_1 Q_2 x_2 \cdots Q_n x_n \phi(x_1, x_2, \dots, x_n))[/math]
    if [math]Q_1 == \forall[/math]
        return [math]solve(Q_2 x_2 \cdots Q_n x_n \phi(0, x_2, \dots, x_n)) \land solve(Q_2 x_2 \cdots Q_n x_n \phi(1, x_2, \dots, x_n))[/math]
    if [math]Q_1 == \exists[/math]
        return [math]solve(Q_2 x_2 \cdots Q_n x_n \phi(0, x_2, \dots, x_n)) \lor solve(Q_2 x_2 \cdots Q_n x_n \phi(1, x_2, \dots, x_n))[/math]
Эта программа требует [math]O(n)[/math] дополнительной памяти для хранения стека рекурсивных вызовов. Максимальная глубина стека — [math]n[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Лемма (2):
[math]TQBF \in \mathrm{PSH}[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим язык [math]L \in \mathrm{PS}[/math]. Построим функцию [math]f \colon \forall x \in L \Leftrightarrow f(x) \in TQBF[/math]. Так как [math]L \in \mathrm{PS}[/math], то существует какая-то детерминированная машина Тьюринга [math]M[/math], которая его распознаёт за полиномиальное от размера входа время. Пусть [math]I[/math] — мгновенное описание [math]M[/math], тогда выражение [math]\exists I[/math] обозначает [math] (\exists x_1) (\exists x_2)\cdots(\exists x_n)[/math], где [math]\{x_i\}[/math] — все переменные мгновенного описания [math]M[/math]. Аналогично выражение [math] \forall I[/math] обозначает [math] (\forall x_1) (\forall x_2)\dots(\forall x_n)[/math]. Теперь рассмотрим два мгновенных описание [math]M: A[/math] и [math]B[/math]. Напишем рекурсивную функцию [math]\phi(A, B, t)[/math], которая будет переводить утверждение [math]A\vdash^tB[/math] в TQBF за полиномиальное относительно длины входа время.

[math]\phi(A, B, t) = \\ (\exists R) (\forall U) (\forall V) \ \{\phi(U, V, t/2) \lor [\neg(A = U \land R = V) \land \neg(R = U \land B = V)]\}[/math]

Переменые [math] U [/math] и [math]V[/math] важно рассмотреть только в двух случаях: когда первое из них стартовое, второе — промежуточное, или первое — промежуточное, а второе — финишное. Поэтому для всех остальных вариантов выражение [math][\neg(A = U \land R = V) \land \neg(R = U \land B = V)][/math] будет истинно. Если [math]A = U \land R = V[/math] то, чтобы [math]\phi(A, B, t)[/math] было истинно, необходимо наличие такого мгновенного описания [math]R[/math], чтобы было выполненно утверждение: [math]A\vdash^{t/2}R[/math]. Если [math]R = U \land B = V[/math] то, нас интересует мгновенное описание [math]R[/math] такое, что [math]R\vdash^{t/2}B[/math].

Заметим, что размер функции [math]\phi(A, B, t)[/math] равен размеру [math]\phi(A, B, t/2)[/math] с константной добавкой [math](\exists R) (\forall U) (\forall V) \ \{\ * \lor [\neg(A = U \land B = R) \land \neg(A = R \land B = V)]\}[/math] . Теперь мы можем записать функцию [math]f(M, w)[/math], которая будет переводить ДМТ [math]M[/math] и слово на ленте [math]w[/math] в [math]TQBF[/math].

[math]f(M, w) = (\exists I_s) (\exists I_f) (x_{I_s, 0} = start \land x_{I_s, 1} = w[1] \land \dots \land x_{I_s, |w|} = w[|w|]) \land ((\exists i) x_{I_f, i} = finish) \land \phi(Start, Finish, 2^{log_2(c^{1+p(n)}})[/math]

Докажем, что получившаяся булева формула с кванторами удовлетворима тогда и только тогда, когда [math]w \in L[/math].

Если [math]w \in L[/math], то стартовое и финишное состояние заданы корректно. Также из стартового состояния можно попасть в финишное за полиномиальное время.

Если [math]w \not\in L[/math], то если мы зададим корректное стартовое состояние, то пути до корректного финишного состояния существовать не может.

Таким образом, [math]TQBF \in \mathrm{PSH}[/math].
[math]\triangleleft[/math]