PpmtnriLmax — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Решение)
(Решение)
Строка 10: Строка 10:
  
 
[[Файл:Figure_5.2.png|400px|thumb|right|Рис. 1 - Cеть]]
 
[[Файл:Figure_5.2.png|400px|thumb|right|Рис. 1 - Cеть]]
 
Для начала научимся отвечать на следующий вопрос: пусть дано некоторое <tex>L</tex>, сможем ли мы составить расписание так, чтобы <tex>L_{max} \le L</tex> и <tex>\forall i : C_i \le d_i^L = L + d_i</tex>. Затем обратимся к проблеме нахождения такого расписания, что работа выполняется в интервале <tex>[r_i; d_i]</tex>.
 
  
 
Сведем эту задачу к поиску максимального потока в сети, построенной указанным ниже образом.
 
Сведем эту задачу к поиску максимального потока в сети, построенной указанным ниже образом.
Строка 17: Строка 15:
 
Пусть <tex>t_1 < t_2 < \ldots < t_r</tex> - упорядоченная последовательность <tex>r_i</tex> и <tex>d_i</tex>. Определим интервалы <tex>I_K = [t_K; t_{K+1}]</tex> с длиной <tex>T_K = t_{K+1} - t_K</tex> для всех <tex>K = 1 \ldots r-1</tex>.
 
Пусть <tex>t_1 < t_2 < \ldots < t_r</tex> - упорядоченная последовательность <tex>r_i</tex> и <tex>d_i</tex>. Определим интервалы <tex>I_K = [t_K; t_{K+1}]</tex> с длиной <tex>T_K = t_{K+1} - t_K</tex> для всех <tex>K = 1 \ldots r-1</tex>.
  
Работам сопоставим свой тип вершин, а интервалам <tex>I_K</tex> свой. Добавим две фиктивные вершины <tex>s</tex> и <tex>t</tex>. Из вершины <tex>s</tex> в вершины с работами идут направленные ребра с пропускной способностью <tex>p_i</tex>, из вершин с интервалами в вершину <tex>t</tex> идут направленные ребра с пропускной способностью <tex>mT_K</tex>. Ребро между вершиной с работой и вершиной с интервалом существует, если <tex>r_i \le t_K, t_{K+1} \le d_i</tex>. Пропускная способность этого ребра - <tex>T_K</tex>.
+
Работам <tex>J_i</tex> сопоставим свой тип вершин, а интервалам <tex>I_K</tex> свой. Добавим две фиктивные вершины <tex>s</tex> и <tex>t</tex>. Вершина <tex>s</tex> соединена с вершинами <tex>J_i</tex> ребрами с пропускной способностью <tex>p_i</tex>, вершина <tex>t</tex> соединена с вершинами <tex>I_K</tex> ребрами с пропускной способностью <tex>mT_K</tex>. Ребро между вершиной <tex>J_i</tex> и вершиной <tex>I_K</tex> существует, если <tex>r_i \le t_K, t_{K+1} \le d_i</tex>. Пропускная способность этого ребра - <tex>T_K</tex>.
 +
 
 +
Нетрудно понять, что расписание существует, если максимальный поток через эту сеть равен <tex>\sum_{i=1}^n p_i</tex>.
 +
 
 +
Если это так, то поток <tex>x_{iK}</tex> на дуге <tex>(J_i, I_K)</tex> соответствует тому, что работа <tex>J_i</tex> будет выполняться во временном интервале <tex>I_K</tex>, и будет справедливо следующее:
 +
 
 +
# <tex>\sum_{K=1}^{r-1} x_{iK} = p_i, i = 1 \ldots n</tex>
 +
# <tex>\sum_{i=1}^n x_{iK} \le mT_K, K = 1 \ldots r - 1</tex>
 +
# <tex>x_{iK} \le T_K</tex> для всех ребер <tex>(J_i, I_K)</tex>

Версия 18:34, 9 июня 2012

Постановка задачи

  1. Имеется [math]M[/math] однородных машин, работающих параллельно.
  2. Есть [math]N[/math] работ, каждое имеет своё время появления [math]r_i[/math] и время окончания [math]d_i[/math].
  3. Работа может быть прервана и продолжена позже.

Необходимо составить такое расписание, чтобы значение [math]L_{max} = max_{i=1}^n (C_i - d_i)[/math] было минимальным.

Решение

Рис. 1 - Cеть

Сведем эту задачу к поиску максимального потока в сети, построенной указанным ниже образом.

Пусть [math]t_1 \lt t_2 \lt \ldots \lt t_r[/math] - упорядоченная последовательность [math]r_i[/math] и [math]d_i[/math]. Определим интервалы [math]I_K = [t_K; t_{K+1}][/math] с длиной [math]T_K = t_{K+1} - t_K[/math] для всех [math]K = 1 \ldots r-1[/math].

Работам [math]J_i[/math] сопоставим свой тип вершин, а интервалам [math]I_K[/math] свой. Добавим две фиктивные вершины [math]s[/math] и [math]t[/math]. Вершина [math]s[/math] соединена с вершинами [math]J_i[/math] ребрами с пропускной способностью [math]p_i[/math], вершина [math]t[/math] соединена с вершинами [math]I_K[/math] ребрами с пропускной способностью [math]mT_K[/math]. Ребро между вершиной [math]J_i[/math] и вершиной [math]I_K[/math] существует, если [math]r_i \le t_K, t_{K+1} \le d_i[/math]. Пропускная способность этого ребра - [math]T_K[/math].

Нетрудно понять, что расписание существует, если максимальный поток через эту сеть равен [math]\sum_{i=1}^n p_i[/math].

Если это так, то поток [math]x_{iK}[/math] на дуге [math](J_i, I_K)[/math] соответствует тому, что работа [math]J_i[/math] будет выполняться во временном интервале [math]I_K[/math], и будет справедливо следующее:

  1. [math]\sum_{K=1}^{r-1} x_{iK} = p_i, i = 1 \ldots n[/math]
  2. [math]\sum_{i=1}^n x_{iK} \le mT_K, K = 1 \ldots r - 1[/math]
  3. [math]x_{iK} \le T_K[/math] для всех ребер [math](J_i, I_K)[/math]