XOR-SAT — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Описание)
(Описание)
Строка 1: Строка 1:
{{Задача
+
ХУЙ
|definition = <b><tex>\mathrm {XORSAT}</tex></b> (англ. ''XOR-satisfiability'') выполнимость функции — задача распределения аргументов в булевой [[КНФ|КНФ]] функции, записанной в виде XOR-КНФ, таким образом, чтобы результат данной функции был равен <tex> 1 </tex>.
 
}}
 
 
 
 
 
== Описание ==
 
 
 
Одним из самых главных особых случаев <tex>\mathrm {SAT}</tex> является класс 8 В задач, где каждый конъюнкт содержит операции <tex>\oplus</tex> (т. е. исключающее или), а не (обычные) <tex>\lor</tex> операторы.Формально, обобщенная КНФ с тернарным  булевым  оператором <tex> R</tex> работает  только если <tex> 1</tex> или <tex> 3</tex> переменные дают <tex> \mathtt {true}</tex> в своих аргументах. Конъюнкты, имеющие более <tex> 3</tex> переменных могут быть преобразованы в сочетании с формулой преобразования с сохранением выполнимости булевой функции, т. е. <tex>\mathrm {XOR}</tex>-<tex>\mathrm {SAT}</tex>  может быть снижена до <tex>\mathrm {XOR}</tex>-<tex>3</tex>-<tex>\mathrm {SAT}</tex><ref>''Alfred V. Aho; John E. Hopcroft; Jeffrey D. Ullman.''The Design and Analysis of Computer Algorithms. Addison-Wesley.; здесь: Thm.10.4, 1974.</ref>
 
 
 
Это задача [[Класс P|<tex>\mathrm {P}</tex>-класса]], так как <tex>\mathrm {XOR}</tex>-<tex>\mathrm {SAT}</tex> формулу можно рассматривать как систему линейных уравнений по модулю <tex>2</tex>, которая, в свою очередь, может быть решена за <tex>O(n^3)</tex> методом Гаусса <ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D1%81%D0%B0 Метод Гаусса]</ref>.Такое представление возможно на основе связи между Булевой алгеброй и Булевым [[Определение кольца, подкольца, изоморфизмы колец|кольцом]] <ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_algebra_(structure)#Boolean_rings Связь между Булевой алгеброй и Булевым кольцом]</ref> и том факте, что арифметика по модулю <tex>2</tex> образует конечное поле <ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%B5 Конечное поле ]</ref>.
 
 
 
==Пример решения XORSAT==
 
===Пример===
 
<font color='red'>Красные пункты</font> могут быть добавлены для возможности представления КНФ-функции в виде <tex>\mathrm {XOR}</tex>-<tex>\mathrm {SAT}</tex>.
 
{| class="wikitable"
 
!<tex>(a \oplus b \oplus c) \land (b \oplus \neg c \oplus d) \land (a \oplus b \oplus \neg d) \land (a \oplus \neg b \oplus \neg c)</tex>
 
! style="background: #ffdddd;" |<tex> \land (\neg a \oplus  b \oplus c) </tex>
 
|}
 
{| class="wikitable"
 
|+
 
!colspan="2"|Решение XOR-SAT задачи методом Гаусса
 
|-align="center"
 
!
 
<center>
 
{| class="wikitable" align="center" style="color: blue; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10"
 
|+
 
!colspan="2"|Система уравнений
 
|-align="center"
 
!Переменные
 
|! width="20%" | Значение
 
|-align="center"
 
! <tex> a </tex> <tex>\oplus</tex> <tex> c </tex> <tex>\oplus</tex> <tex> d </tex>
 
|<tex>=1</tex>
 
|-align="center"
 
! <tex> b </tex> <tex>\oplus</tex> <tex>\neg c </tex> <tex>\oplus</tex> <tex> d </tex>
 
|<tex>=1</tex>
 
|-align="center"
 
! <tex> a </tex> <tex>\oplus</tex> <tex>  b </tex> <tex>\oplus</tex> <tex>\neg d </tex>
 
|<tex>=1</tex>
 
|-align="center"
 
! <tex> \neg a </tex> <tex>\oplus</tex> <tex> \neg b </tex> <tex>\oplus</tex> <tex>\neg c </tex>
 
|<tex>=1</tex>
 
|-align="center"
 
! style="background: #ffdddd;" |<tex> \neg a </tex> <tex>\oplus</tex> <tex>  b </tex>  <tex>\oplus</tex>  <tex> c </tex>
 
! style="background: #ffdddd;" |<tex> =1 </tex>
 
|}
 
</center>
 
!(«<tex>1</tex>» означает «<tex> \mathtt {true}</tex>», «<tex>0</tex>» означает «<tex> \mathtt {false}</tex>»)
 
Каждый конъюнкт ведет к одному уравнению.
 
|-align="center"
 
!
 
<center>
 
{| class="wikitable" align="center" style="color: blue; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10"
 
|+
 
!colspan="2"|Нормированная система уравнений
 
|-align="center"
 
!Переменные
 
|! width="20%" | Значение
 
|-align="center"
 
! <tex> a </tex> <tex>\oplus</tex> <tex> c </tex> <tex>\oplus</tex> <tex> d </tex>
 
|<tex>=1</tex>
 
|-align="center"
 
! <tex> b </tex> <tex>\oplus</tex> <tex> c </tex> <tex>\oplus</tex> <tex> d </tex>
 
|<tex>=0</tex>
 
|-align="center"
 
! <tex> a </tex> <tex>\oplus</tex> <tex>  b </tex> <tex>\oplus</tex> <tex> d </tex>
 
|<tex>=0</tex>
 
|-align="center"
 
! <tex> a </tex> <tex>\oplus</tex> <tex>  b </tex> <tex>\oplus</tex> <tex> c </tex>
 
|<tex>=1</tex>
 
|-align="center"
 
! style="background: #ffdddd;" |<tex> a </tex> <tex>\oplus</tex> <tex>  b </tex>  <tex>\oplus</tex>  <tex> c </tex>
 
! style="background: #ffdddd;" |<tex> =0 </tex>
 
|}
 
</center>
 
!Используя свойства Булевых [[Определение кольца, подкольца, изоморфизмы колец|колец]]
 
(<tex>\neg x=1 \oplus x</tex>, <tex>x \oplus x=1</tex>),<br>
 
избавимся от отрицаний в нашей системе
 
|-align="center"
 
!
 
<center>
 
{| class="wikitable" align="center" style="color: blue; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10"
 
|+
 
!colspan="6"|Матрица соответствующих коэффициентов
 
|-align="center"
 
!class="dark"| <tex>a</tex>
 
!class="dark"| <tex>b</tex>
 
!class="dark"| <tex>c</tex>
 
!class="dark"| <tex>d</tex>
 
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"|
 
|Строка
 
|-align="center"
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>1</tex>
 
| <tex>A</tex>
 
|-align="center"
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>0</tex>
 
| <tex>B</tex>
 
|-align="center"
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>0</tex>
 
| <tex>C</tex>
 
|-align="center"
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>1</tex>
 
| <tex>D</tex>
 
|}
 
</center>
 
!Составим матрицу по следующему правилу:
 
Если переменная присутствовала в данном конъюнкте<br>
 
ставим в ячейку <tex>1</tex>, иначе <tex>0</tex>
 
|-align="center"
 
!
 
<center>
 
{| class="wikitable" align="center" style="color: blue; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10"
 
|+
 
!colspan="6"|Преобразования, чтобы сформировать
 
верхнюю треугольную матрицу
 
|-align="center"
 
!class="dark"| <tex>a</tex>
 
!class="dark"| <tex>b</tex>
 
!class="dark"| <tex>c</tex>
 
!class="dark"| <tex>d</tex>
 
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"|
 
|Операция
 
|-align="center"
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>1</tex>
 
| <tex>A</tex>
 
|-align="center"
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>0</tex>
 
| <tex>C</tex>
 
|-align="center"
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>1</tex>
 
| <tex>D</tex>
 
|-align="center"
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>0</tex>
 
| <tex>B</tex>
 
|}
 
</center>
 
!Поменяем местами строки <tex>B,\ C,\ D</tex>,<br>
 
чтобы упростить получение верхней треугольной матрицы.
 
|-align="center"
 
!
 
<center>
 
{| class="wikitable" align="center" style="color: blue; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10"
 
|+
 
|-align="center"
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>1</tex>
 
| <tex>A</tex>
 
|-align="center"
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>1</tex>
 
| <tex>E=C \oplus A</tex>
 
|-align="center"
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>0</tex>
 
| <tex>F=D \oplus A</tex>
 
|-align="center"
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>0</tex>
 
| <tex>B</tex>
 
|}
 
</center>
 
!Т.к. операция <tex>\oplus</tex> даёт <tex>0</tex>  при одинаковых аргументах,
 
применим её для строк <tex>A,\ C=E</tex> и <tex>A,\ D=F</tex>,<br>
 
чтобы получить <tex>0</tex> в <tex>1</tex>-м столбце.
 
|-align="center"
 
!
 
<center>
 
{| class="wikitable" align="center" style="color: blue; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10"
 
|+
 
|-align="center"
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>1</tex>
 
| <tex>A</tex>
 
|-align="center"
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>1</tex>
 
| <tex>E</tex>
 
|-align="center"
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>1</tex>
 
| <tex>G=F \oplus E</tex>
 
|-align="center"
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>1</tex>
 
| <tex>H=B \oplus E</tex>
 
|}
 
</center>
 
!Теперь применим <tex>\oplus</tex> для строк <tex>E,\ F=G</tex> и <tex>B,\ E=H</tex>,<br>
 
чтобы получить <tex>0</tex> в <tex>2</tex>-м и <tex>3</tex>-м столбцах.
 
|-align="center"
 
!
 
<center>
 
{| class="wikitable" align="center" style="color: blue; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10"
 
|+
 
!colspan="6"|Преобразования, чтобы сформировать
 
диагональную матрицу
 
|-align="center"
 
!class="dark"| <tex>a</tex>
 
!class="dark"| <tex>b</tex>
 
!class="dark"| <tex>c</tex>
 
!class="dark"| <tex>d</tex>
 
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"|
 
|Операция
 
|-align="center"
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>0</tex>
 
| <tex>I=A \oplus H</tex>
 
|-align="center"
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>1</tex>
 
| <tex>E</tex>
 
|-align="center"
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>0</tex>
 
| <tex>J=G \oplus H</tex>
 
|-align="center"
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>1</tex>
 
| <tex>H</tex>
 
|}
 
</center>
 
!Чтобы получить основную диагональную матрицу,<br>
 
сделаем <tex>\oplus</tex> <tex>A,\ H=I</tex> и <tex>G,\ H=J</tex>,<br>
 
чтобы получить <tex>0</tex> в <tex>4</tex>-м столбце выше диагонали.
 
|-align="center"
 
!
 
<center>
 
{| class="wikitable" align="center" style="color: blue; background-color:#ffffcc;" cellpadding="10"
 
|+
 
|-align="center"
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>0</tex>
 
| <tex>K=I \oplus J</tex>
 
|-align="center"
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>1</tex>
 
| <tex>L=E \oplus J</tex>
 
|-align="center"
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>0</tex>
 
| <tex>J</tex>
 
|-align="center"
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>0</tex>
 
!class="dark" style="font-weight:normal"| <tex>1</tex>
 
!class="green" style="font-weight:normal" style="background: #ddffdd;"| <tex>1</tex>
 
| <tex>H</tex>
 
|}
 
!Осталось сделать <tex>\oplus</tex> <tex>I,\ J=K</tex> и <tex>E,\ J=L</tex>,<br>
 
потому что они отличаются в <tex>1</tex>-м и <tex>2</tex>-м столбцах.
 
|-align="center"
 
</center>
 
|}
 
 
 
===Решение===
 
Если <font color='red'>красный пункт</font> присутствует:<i> Решений нет</i><br>
 
Иначе:<br>
 
<tex>a=0=\mathtt {false}</tex><br>
 
<tex>b=1=\mathtt {true}</tex><br>
 
<tex>c=0=\mathtt {false}</tex><br>
 
<tex>d=1=\mathtt {true}</tex><br>
 
==Вычислительная сложность==
 
[[Файл:Булева выполнимость.png|400px|thumb|down|Формула с <tex>2</tex>-мя дизъюнктами может быть неудовлетворена(красный), <tex>3</tex>-<tex>\mathrm {SAT}</tex>(зелёный), <tex>\mathrm {XOR}</tex>-<tex>3</tex>-<tex>\mathrm {SAT}</tex>(синий), или/и <tex>1</tex>-<tex>\mathrm {in}</tex>-<tex>3</tex>-<tex>\mathrm {SAT}</tex>, в зависимости от количества переменных со значением <tex> \mathtt {true}</tex> в <tex>1</tex>-м (горизонтальном) и втором (вертикальном) конъюнкте.]]
 
Поскольку <tex>a \oplus b \oplus c</tex> принимает значение <tex> \mathtt {true}</tex>, если и только если <tex>1</tex> из <tex>3</tex> переменных <tex>\{a,\ b,\ c\}</tex> принимает значение <tex> \mathtt {true}</tex>, каждое решение в  <tex>1</tex>-<tex>\mathrm {in}</tex>-<tex>3</tex>-<tex>\mathrm {SAT}</tex> задачи для данной КНФ-формулы является также решением <tex>\mathrm {XOR}</tex>-<tex>3</tex>-<tex>\mathrm {SAT}</tex> задачи, и, в свою очередь, обратное также верно.<br>
 
Как следствие, для каждой КНФ-формулы, можно решить <tex>\mathrm {XOR}</tex>-<tex>3</tex>-<tex>\mathrm {SAT}</tex>-задачу и на основании результатов сделать вывод, что либо <tex>3</tex>-<tex>\mathrm {SAT}</tex> задача решаема или, что <tex>1</tex>-<tex>\mathrm {in}</tex>-<tex>3</tex>-<tex>\mathrm {SAT}</tex>-задача нерешаема.<br>
 
При условии, что <tex>\mathrm {P}</tex>- и <tex>\mathrm {NP}</tex>-классы не равны, ни <tex>2</tex>-, ни Хорн-, ни <tex>\mathrm {XOR}</tex>-<tex>\mathrm {SAT}</tex> не являются задачи [[Класс NP|<tex>\mathrm {NP}</tex>-класса]], в отличии от <tex>\mathrm {SAT}</tex>.
 
 
 
== См. также ==
 
 
 
*[[Специальные формы КНФ]]
 
*[[2SAT]]
 
*[[3CNFSAT | NP-полнота задачи о выполнимости булевой формулы в форме 3-КНФ]]
 
 
 
== Примечания ==
 
<references/>
 
 
 
== Источники информации ==
 
 
 
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_satisfiability_problem Википедия — Boolean satisfiability problem]
 
* ''Cook, Stephen A.''Proceedings of the 3rd Annual ACM Symposium on Theory of Computing: 151–158, 1971.
 
 
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
 
 
[[Категория: Булевы функции]]
 

Версия 14:52, 30 июня 2021

ХУЙ