XOR-SAT — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Пример)
(Описание)
Строка 8: Строка 8:
 
Одним из особых случаев <tex>\mathrm {SAT}</tex> является класс задач, где каждый конъюнкт содержит операции <tex>\oplus</tex> (т. е. исключающее или), а не (обычные) <tex>\lor</tex> операторы.Формально, обобщенная КНФ с тернарным  булевым  оператором <tex> R</tex> работает  только если <tex> 1</tex> или <tex> 3</tex> переменные дают <tex> \mathtt {true}</tex> в своих аргументах. Конъюнкты, имеющие более <tex> 3</tex> переменных могут быть преобразованы в сочетании с формулой преобразования с сохранением выполнимости булевой функции, т. е. <tex>\mathrm {XOR}</tex>-<tex>\mathrm {SAT}</tex>  может быть снижена до <tex>\mathrm {XOR}</tex>-<tex>3</tex>-<tex>\mathrm {SAT}</tex><ref>''Alfred V. Aho; John E. Hopcroft; Jeffrey D. Ullman.''The Design and Analysis of Computer Algorithms. Addison-Wesley.; здесь: Thm.10.4, 1974.</ref>
 
Одним из особых случаев <tex>\mathrm {SAT}</tex> является класс задач, где каждый конъюнкт содержит операции <tex>\oplus</tex> (т. е. исключающее или), а не (обычные) <tex>\lor</tex> операторы.Формально, обобщенная КНФ с тернарным  булевым  оператором <tex> R</tex> работает  только если <tex> 1</tex> или <tex> 3</tex> переменные дают <tex> \mathtt {true}</tex> в своих аргументах. Конъюнкты, имеющие более <tex> 3</tex> переменных могут быть преобразованы в сочетании с формулой преобразования с сохранением выполнимости булевой функции, т. е. <tex>\mathrm {XOR}</tex>-<tex>\mathrm {SAT}</tex>  может быть снижена до <tex>\mathrm {XOR}</tex>-<tex>3</tex>-<tex>\mathrm {SAT}</tex><ref>''Alfred V. Aho; John E. Hopcroft; Jeffrey D. Ullman.''The Design and Analysis of Computer Algorithms. Addison-Wesley.; здесь: Thm.10.4, 1974.</ref>
  
Это задача [[Класс P|<tex>\mathrm {P}</tex>-класса]], так как <tex>\mathrm {XOR}</tex>-<tex>\mathrm {SAT}</tex> формулу можно рассматривать как систему линейных уравнений по модулю <tex>2</tex>, которая, в свою очередь, может быть решена за <tex>O(n^3)</tex> методом Гаусса <ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D1%81%D0%B0 Метод Гаусса]</ref>.Такое представление возможно на основе связи между Булевой алгеброй и Булевым кольцом <ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_algebra_(structure)#Boolean_rings Связь между Булевой алгеброй и Булевым кольцом]</ref> и том факте, что арифметика по модулю <tex>2</tex> образует конечное поле <ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%B5 Конечное поле ]</ref>.
+
Это задача [[Класс P|<tex>\mathrm {P}</tex>-класса]], так как <tex>\mathrm {XOR}</tex>-<tex>\mathrm {SAT}</tex> формулу можно рассматривать как систему линейных уравнений по модулю <tex>2</tex>, которая, в свою очередь, может быть решена за <tex>O(n^3)</tex> методом Гаусса <ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%93%D0%B0%D1%83%D1%81%D1%81%D0%B0 Метод Гаусса]</ref>.Такое представление возможно на основе связи между Булевой алгеброй и Булевым [[Определение кольца, подкольца, изоморфизмы колец|кольцом]] <ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_algebra_(structure)#Boolean_rings Связь между Булевой алгеброй и Булевым кольцом]</ref> и том факте, что арифметика по модулю <tex>2</tex> образует конечное поле <ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%B5 Конечное поле ]</ref>.
  
 
==Пример решения XORSAT==
 
==Пример решения XORSAT==

Версия 17:00, 7 января 2017

Задача:
[math]\mathrm {XORSAT}[/math] (XOR-satisfiability) выполнимость функции — задача распределения аргументов в булевой КНФ функции, записанной в виде XOR-КНФ, таким образом, чтобы результат данной функции был равен [math] 1 [/math].


Описание

Одним из особых случаев [math]\mathrm {SAT}[/math] является класс задач, где каждый конъюнкт содержит операции [math]\oplus[/math] (т. е. исключающее или), а не (обычные) [math]\lor[/math] операторы.Формально, обобщенная КНФ с тернарным булевым оператором [math] R[/math] работает только если [math] 1[/math] или [math] 3[/math] переменные дают [math] \mathtt {true}[/math] в своих аргументах. Конъюнкты, имеющие более [math] 3[/math] переменных могут быть преобразованы в сочетании с формулой преобразования с сохранением выполнимости булевой функции, т. е. [math]\mathrm {XOR}[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math] может быть снижена до [math]\mathrm {XOR}[/math]-[math]3[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math][1]

Это задача [math]\mathrm {P}[/math]-класса, так как [math]\mathrm {XOR}[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math] формулу можно рассматривать как систему линейных уравнений по модулю [math]2[/math], которая, в свою очередь, может быть решена за [math]O(n^3)[/math] методом Гаусса [2].Такое представление возможно на основе связи между Булевой алгеброй и Булевым кольцом [3] и том факте, что арифметика по модулю [math]2[/math] образует конечное поле [4].

Пример решения XORSAT

Пример

(Красные пункты не являются обязательными)

[math](a \oplus b \oplus c) \land (b \oplus \neg c \oplus d) \land (a \oplus b \oplus \neg d) \land (a \oplus \neg b \oplus \neg c)[/math] [math] \land (\neg a \oplus b \oplus c) [/math]
Решение XOR-SAT задачи методом Гаусса
Система уравнений
Переменные Значение
[math] a [/math] [math]\oplus[/math] [math] c [/math] [math]\oplus[/math] [math] d [/math] [math]=1[/math]
[math] b [/math] [math]\oplus[/math] [math]\neg c [/math] [math]\oplus[/math] [math] d [/math] [math]=1[/math]
[math] a [/math] [math]\oplus[/math] [math] b [/math] [math]\oplus[/math] [math]\neg d [/math] [math]=1[/math]
[math] \neg a [/math] [math]\oplus[/math] [math] \neg b [/math] [math]\oplus[/math] [math]\neg c [/math] [math]=1[/math]
[math] \neg a [/math] [math]\oplus[/math] [math] b [/math] [math]\oplus[/math] [math] c [/math] [math] 1 [/math]
[math]1[/math]» означает «[math] \mathtt {true}[/math]», «[math]0[/math]» означает «[math] \mathtt {false}[/math]»)

Каждый конъюнкт ведет к одному уравнению.

Нормированная система уравнений
Переменные Значение
[math] a [/math] [math]\oplus[/math] [math] c [/math] [math]\oplus[/math] [math] d [/math] [math]=1[/math]
[math] b [/math] [math]\oplus[/math] [math] c [/math] [math]\oplus[/math] [math] d [/math] [math]=0[/math]
[math] a [/math] [math]\oplus[/math] [math] b [/math] [math]\oplus[/math] [math] d [/math] [math]=0[/math]
[math] a [/math] [math]\oplus[/math] [math] b [/math] [math]\oplus[/math] [math] c [/math] [math]=1[/math]
[math] a [/math] [math]\oplus[/math] [math] b [/math] [math]\oplus[/math] [math] c [/math] [math] 0 [/math]
Используя свойства Булевых колец

([math]\neg x=1 \oplus x[/math], [math]x \oplus x=1[/math]),
избавимся от отрицаний в нашей системе

Матрица соответствующих коэффициентов
[math]a[/math] [math]b[/math] [math]c[/math] [math]d[/math] Строка
[math]1[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]A[/math]
[math]0[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]B[/math]
[math]1[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]C[/math]
[math]1[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]D[/math]
Составим матрицу по следующему правилу:

Если переменная присутствовала в данном конъюнкте
ставим в ячейку [math]1[/math], иначе [math]0[/math]

Преобразования, чтобы сформировать

верхнюю треугольную матрицу

[math]a[/math] [math]b[/math] [math]c[/math] [math]d[/math] Операция
[math]1[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]A[/math]
[math]1[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]C[/math]
[math]1[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]D[/math]
[math]0[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]B[/math]
Поменяем местами строки [math]B,\ C,\ D[/math],

чтобы упростить получение верхней треугольной матрицы.

[math]1[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]A[/math]
[math]0[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]E=C \oplus A[/math]
[math]0[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]F=D \oplus A[/math]
[math]0[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]B[/math]
Т.к. операция [math]\oplus[/math] даёт [math]0[/math] при одинаковых аргументах,

применим её для строк [math]A,\ C=E[/math] и [math]A,\ D=F[/math],
чтобы получить [math]0[/math] в [math]1[/math]-м столбце.

[math]1[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]A[/math]
[math]0[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]E[/math]
[math]0[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]G=F \oplus E[/math]
[math]0[/math] [math]0[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]H=B \oplus E[/math]
Теперь применим [math]\oplus[/math] для строк [math]E,\ F=G[/math] и [math]B,\ E=H[/math],

чтобы получить [math]0[/math] в [math]2[/math]-м и [math]3[/math]-м столбцах.

Преобразования, чтобы сформировать

диагональную матрицу

[math]a[/math] [math]b[/math] [math]c[/math] [math]d[/math] Операция
[math]1[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]0[/math] [math]I=A \oplus H[/math]
[math]0[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]E[/math]
[math]0[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]0[/math] [math]J=G \oplus H[/math]
[math]0[/math] [math]0[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]H[/math]
Чтобы получить основную диагональную матрицу,

сделаем [math]\oplus[/math] [math]A,\ H=I[/math] и [math]G,\ H=J[/math],
чтобы получить [math]0[/math] в [math]4[/math]-м столбце выше диагонали.

[math]1[/math] [math]0[/math] [math]0[/math] [math]0[/math] [math]0[/math] [math]K=I \oplus J[/math]
[math]0[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]L=E \oplus J[/math]
[math]0[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]0[/math] [math]J[/math]
[math]0[/math] [math]0[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]H[/math]
Осталось сделать [math]\oplus[/math] [math]I,\ J=K[/math] и [math]E,\ J=L[/math],

потому что они отличаются в [math]1[/math]-м и [math]2[/math]-м столбцах.

Решение

Если красный пункт присутствует: Решений нет
Иначе:
[math]a=0=\mathtt {false}[/math]
[math]b=1=\mathtt {true}[/math]
[math]c=0=\mathtt {false}[/math]
[math]d=1=\mathtt {true}[/math]

Следствие

[math]R(a,\ b,\ c) \land R(b,\ \neg c ,\ d) \land R(a,\ b ,\ \neg d) \land R(a ,\ \neg b ,\ \neg c)[/math] [math] \land (\neg a,\ b ,\ c) [/math]
Не является решением [math]1[/math]-[math]\mathrm {in}[/math]-[math]3[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math],a [math](a \lor c \lor d) \land (b \lor \neg c \lor d) \land (a \lor b \lor \neg d) \land (a \lor \neg b \lor \neg c)[/math] является решением [math]3[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math] с [math]a=c=\mathtt {false}[/math] и [math]b=d=\mathtt {true}[/math].

Вычислительная сложность

Формула с [math]2[/math]-мя дизъюнктами может быть неудовлетворена(красный), [math]3[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math](зелёный), [math]\mathrm {XOR}[/math]-[math]3[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math](синий), или/и [math]1[/math]-[math]\mathrm {in}[/math]-[math]3[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math], в зависимости от количества переменных со значением [math] \mathtt {true}[/math] в [math]1[/math]-м (горизонтальном) и втором (вертикальном) конъюнкте.

Поскольку [math]a \oplus b \oplus c[/math] принимает значение [math] \mathtt {true}[/math], если и только если [math]1[/math] из [math]3[/math] переменных [math]\{a,\ b,\ c\}[/math] принимает значение [math] \mathtt {true}[/math], каждое решение в [math]1[/math]-[math]\mathrm {in}[/math]-[math]3[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math] задачи для данной КНФ-формулы является также решением [math]\mathrm {XOR}[/math]-[math]3[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math] задачи, и, в свою очередь,обратное также верно.
Как следствие, для каждой КНФ-формулы, можно решить [math]\mathrm {XOR}[/math]-[math]3[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math]-задачу и на основании результатов сделать вывод, что либо [math]3[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math] задача решаема или, что [math]1[/math]-[math]\mathrm {in}[/math]-[math]3[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math]-задача нерешаема.
При условии, что [math]\mathrm {P}[/math]- и [math]\mathrm {NP}[/math]-классы не равны, ни [math]2[/math]-, ни Хорн-, ни [math]\mathrm {XOR}[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math] не являются задачи NP-класса, в отличии от [math]\mathrm {SAT}[/math].

См. также

Примечания

  1. Alfred V. Aho; John E. Hopcroft; Jeffrey D. Ullman.The Design and Analysis of Computer Algorithms. Addison-Wesley.; здесь: Thm.10.4, 1974.
  2. Метод Гаусса
  3. Связь между Булевой алгеброй и Булевым кольцом
  4. Конечное поле

Источники информации