Вопросы к экзамену по математическому анализу за 3 семестр

1. 1. Полукольцо и алгебра множеств (примеры).
2. 2. Мера на полукольце множеств и ее основные свойства.
3. 3. Внешняя мера, порожденная мерой на полукольце.
4. 4. Понятие о мю*- измеримых множествах. Доказательство основной теоремы.
5. 5. Распространение меры с полукольца на сигма-алгебру по Каратеодори. Доказательство теоремы.
6. 6. Теорема о повторном применении процесса Каратеодори.
7. 7. Критерий мю*-измеримости.
8. 8. Объем многомерного параллелепипеда и его основные свойства.
9. 9. Объем, как мера на полукольце ячеек.
10. 10. Некоторые классы измеримых по Лебегу множеств (счетные, открытые, замкнутые).
11. 11. Теорема о внешней мере в R^n.
12. 12. Структура измеримого по Лебегу множества.
13. 13. Определение измеримых функций, теорема о множествах Лебега.
14. 14. Арифметика измеримых функций.
15. 15. Измеримость поточечного предела измеримых функций.
16. 16. Эквивалентные функции и сходимость почти всюду.
17. 17. Предел по мере и его единственность.
18. 18. Теорема Лебега о связи сходимости п.в. и по мере.
19. 19. Теорема Рисса.
20. 20. Теорема Егорова.
21. 21. Теоремы Лузина (без док-ва) и Фреше.
22. 22. Суммы Лебега-Дарбу и их свойства, определение интеграла Лебега, совпадение интеграла Римана с интегралом Лебега.
23. 23. Интегрируемость ограниченной, измеримой функции.
24. 24. Счетная аддитивность интеграла.
25. 25. Абсолютная непрерывность интеграла.
26. 26. Арифметические свойства интеграла Лебега.
27. 27. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла.
28. 28. Определение интеграла от суммируемой функции.
29. 29. Сигма-аддитивность интеграла неотрицательных функций.
30. 30. Арифметические свойства интеграла неотрицательных функций.
31. 31. О распространении основных свойств интеграла Лебега на суммируемые функции произвольного знака.
32. 32. Теорема Лебега о мажорируемой сходимости.
33. 33. Теорема Б.Леви и следствие о ряде из интегралов.
34. 34. Теорема Фату.
35. 35. Неравенства Гельдера и Минковского.
36. 36. Пространства , полнота.
37. 37. Всюду плотность множества С в пространствах .
38. 38. Мера цилиндра.
39. 39. Мера подграфика.
40. 40. Вычисление меры множества посредством его сечений.
41. 41. Теорема Фубини.