Материал из Викиконспекты
- Полукольцо и алгебра множеств (примеры).
- Мера на полукольце множеств и ее основные свойства.
- Внешняя мера, порожденная мерой на полукольце.
- Понятие о [math]\mu^*[/math]-измеримых множествах. Доказательство основной теоремы.
- Распространение меры с полукольца на сигма-алгебру по Каратеодори. Доказательство теоремы.
- Теорема о повторном применении процесса Каратеодори.
- Критерий [math]\mu^*[/math]-измеримости.
- Объем многомерного параллелепипеда и его основные свойства.
- Объем, как мера на полукольце ячеек.
- Некоторые классы измеримых по Лебегу множеств (счетные, открытые, замкнутые).
- Теорема о внешней мере в R^n.
- Структура измеримого по Лебегу множества.
- Определение измеримых функций, теорема о множествах Лебега.
- Арифметика измеримых функций.
- Измеримость поточечного предела измеримых функций.
- Эквивалентные функции и сходимость почти всюду.
- Предел по мере и его единственность.
- Теорема Лебега о связи сходимости п.в. и по мере.
- Теорема Рисса.
- Теорема Егорова.
- Теоремы Лузина (без док-ва) и Фреше.
- Суммы Лебега-Дарбу и их свойства, определение интеграла Лебега, совпадение интеграла Римана с интегралом Лебега.
- Интегрируемость ограниченной, измеримой функции.
- Счетная аддитивность интеграла.
- Абсолютная непрерывность интеграла.
- Арифметические свойства интеграла Лебега.
- Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла.
- Определение интеграла от суммируемой функции.
- Сигма-аддитивность интеграла неотрицательных функций.
- Арифметические свойства интеграла неотрицательных функций.
- О распространении основных свойств интеграла Лебега на суммируемые функции произвольного знака.
- Теорема Лебега о мажорируемой сходимости.
- Теорема Б.Леви и следствие о ряде из интегралов.
- Теорема Фату.
- Неравенства Гельдера и Минковского.
- Пространства, [math]L_p[/math] полнота.
- Всюду плотность множества С в пространствах [math]L_p[/math].
- Мера цилиндра.
- Мера подграфика.
- Вычисление меры множества посредством его сечений.
- Теорема Фубини.
