Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега

Теорема Лебега

Теорема (Лебег, о мажорируемой сходимости):

Пусть на E \subset X задана последовательность измеримых функций f_n, таких, что

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Из сходимости по мере по теореме Риса выделим сходящуюся подпоследовательность f_{n_k}.

[math]\triangleleft[/math]

\varphi d \mu < \varepsilon

\left| \int\limits_E f_n - \int\limits_E f \right| = \int\limits_E |f_n - f| = \int\limits_Шаблон:A \varepsilon |f_n - f| + \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} |f_n - f|

\int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} |f_n - f| \le \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} 2 \varphi < 2 \varepsilon (по выбору A_\varepsilon)

A_{\varepsilon} — хорошее, следовательно, \mu A_{\varepsilon} < + \infty, |\varphi(x)| \le M на A_\varepsilon, |f_n| \le \varphi \le M на A_\varepsilon, аналогично, f.

Тем самым, \int\limits_Шаблон:A \varepsilon |f_n - f| удовлетворяет теореме Лебега о предельном переходе под знаком опредленного интеграла, следовательно, \int\limits_Шаблон:A \varepsilon \rightarrow (n \to \infty) 0. Тогда и \int\limits_E |f_n - f| \rightarrow (n \to \infty) 0, что и требовалось доказать. }}

Примечание: Так как на множестве конечной меры их сходимости почти всюду вытекает сходимость по мере, то теорему Лебега можно было формулировать для сходимости почти всюду.

Теорема Леви

Избавимся от требования наличия суммируемой мажоранты ==

Теорема (Леви):

Пусть на E задана последовательность измеримых функций, каждая из которых почти всюду неотрицательна и f_n(x) \le f_{n+1}(x). f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) — почти везде конечна на E. Тогда:

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

В силу поточечной монотонности f_n, f как их предел, определена по теореме Вейерштрасса, предел измеримых функций измерим — все интегралы имеют смысл, функция неотрицательна. \int\limits_E f < + \infty, 0 < f_n \le f f — суммируемая мажоранта f_n и по теореме Лебега равенство( TODO: ???) выполняется. \int\limits_E f = + \infty: \forall m < N по определению интеграла неотрицательной функции \exists E_m — хорошее для f: m < \int\limits_{E_m} f d \mu. f ограничена на E_m, мера E_m — конечна, то константа, которой определяется f, может рассматриваться, как суммируемая мажоранта для f_n и по теореме Лебега, \int\limits_{E_m} f_n \to \int\limits_{E_m} f, и, начиная с N: m < \int\limits_{E_m} f_n. E_m \in E, f_n \ge 0, и по свойствам интеграла, \int\limits_{E_m} f_n \le \int\limits_{E} f_n и m < \int\limits_{E} f_n, \forall n > N, m — произвольное натуральное число, следовательно, \int\limits_{E} f_n \to + \infty = \int\limits_{E} f, что и требовалось доказать.

[math]\triangleleft[/math]

\forall \varepsilon > 0

\int\limits_E \int\limits_E \int\limits_E \int\limits_E \int\limits_E \int\limits_E \int\limits_E