Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

<<>>

Теорема Лебега[править]

Теорема (Лебег, о мажорируемой сходимости):
Пусть на [math] E \subset X [/math] задана последовательность суммируемых функций [math] f_n [/math], таких, что [math] |f_n(x)| \le \varphi(x) [/math] почти всюду, где [math] \varphi [/math] — суммируемая.

Пусть [math] f_n \underset{E}{\Rightarrow} f [/math] (по мере). Тогда допустим предельный переход под знаком интеграла:

[math] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_E f_n = \int\limits_E f [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math] f_n \underset{E}{\Rightarrow} f [/math], следовательно, по теореме Рисса, можно выделить сходящуюся подпоследовательность [math] f_{n_k} [/math].

[math] |f_{n_k}(x)| \le \varphi(x) [/math]. Устремим [math] k [/math] к бесконечности, тогда [math] |f(x)| \le \varphi(x) [/math].

По определению интеграла, [math] \forall \varepsilon \gt 0[/math], можно подобрать [math] A_\varepsilon [/math] — хорошее для [math] \varphi: \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} \varphi d \mu \lt \varepsilon [/math].

[math] \left| \int\limits_E f_n - \int\limits_E f \right| \le \int\limits_E |f_n - f| = \int\limits_{{A_\varepsilon}} |f_n - f| + \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} |f_n - f| [/math]

[math] \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} |f_n - f| \le \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} 2 \varphi \lt 2 \varepsilon [/math] (по выбору [math] A_\varepsilon [/math])

[math] A_{\varepsilon} [/math] — хорошее, следовательно, [math] \mu A_{\varepsilon} \lt + \infty [/math], следовательно, [math] |\varphi(x)| \le M [/math] на [math] A_\varepsilon [/math].

[math] |f_n|, |f| [/math] мажорируются [math] \varphi \le M [/math] на [math] A_\varepsilon [/math].

Тем самым, [math] \int\limits_{{A_\varepsilon}} |f_n - f| [/math] удовлетворяет теореме Лебега о предельном переходе под знаком опредленного интеграла, следовательно, [math] \int\limits_{{A_\varepsilon}} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 [/math]. Тогда и [math] \int\limits_E |f_n - f| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 [/math], что и требовалось доказать.
[math]\triangleleft[/math]

Примечание: Так как на множестве конечной меры из сходимости почти всюду вытекает сходимость по мере, то теорему Лебега можно было формулировать для сходимости почти всюду.

Теорема Леви[править]

Избавимся от требования наличия суммируемой мажоранты:

Теорема (Леви):
Пусть на [math] E [/math] задана последовательность измеримых функций, каждая из которых почти всюду неотрицательна и [math] f_n(x) \le f_{n+1}(x) [/math]. [math] f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) [/math] — почти везде конечна на [math] E [/math]. Тогда [math] \lim\limits_n \int\limits_E f_n = \int\limits_E f [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

В силу поточечной монотонности [math] f_n [/math], [math] f [/math], как их предел, определена по теореме Вейерштрасса, предел измеримых функций измерим, поэтому все интегралы имеют смысл, функция неотрицательна.

Если [math] \int\limits_E f \lt + \infty, 0 \lt f_n \le f [/math], то [math] f [/math] — суммируемая мажоранта [math] f_n [/math], и, по теореме Лебега, равенство выполняется.

Если же [math] \int\limits_E f = + \infty [/math], то для любого [math] m \in \mathbb N [/math], по определению интеграла неотрицательной функции, существует [math] \exists E_m [/math] — хорошее для [math] f: m \lt \int\limits_{E_m} f d \mu [/math].

[math] f [/math] ограничена на [math] E_m [/math], мера [math] E_m [/math] — конечна, значит, константа, которой определяется [math] f [/math], может рассматриваться, как суммируемая мажоранта для [math] f_n [/math] и, по теореме Лебега, [math] \int\limits_{E_m} f_n \to \int\limits_{E_m} f [/math]. Поэтому, начиная с [math] N, m \lt \int\limits_{E_m} f_n [/math].

Но [math] E_m \subset E, f_n \ge 0 [/math], и по свойствам интеграла, [math] \int\limits_{E_m} f_n \le \int\limits_{E} f_n [/math] и [math] m \lt \int\limits_{E} f_n, \forall n \gt N [/math], [math] m [/math] — произвольное натуральное число, следовательно, [math] \int\limits_{E} f_n \to + \infty = \int\limits_{E} f [/math], что и требовалось доказать.
[math]\triangleleft[/math]

Следствие[править]

Лемма (следствие):
Пусть [math] u_n(x) \ge 0 [/math] и измеримы на [math] E [/math], и [math] \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_E u_n [/math] — сходится. Тогда [math] \sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_n(x) [/math] сходится почти всюду на [math] E [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Все интегралы определены (неотрицательные функции). [math] S_n = \sum\limits_{k = 1}^{n} u_k(x) [/math] с ростом [math] n [/math] возрастает. Мы хотим установить, что предел [math] S(x) \rightarrow + \infty [/math] самое большее — на нульмерном множестве.

Пусть [math] E_1 = E(S(x) = + \infty) [/math] и [math] \mu E_1 \gt 0 [/math]. Тогда [math] \int\limits_{E_1} S(x) d\mu = \infty [/math].

Но к частичным суммам на [math] E_1 [/math] применима теорема Леви и [math] \int\limits_{E_1} S_n \to + \infty [/math], при этом [math] \int\limits_{E_1} S_n \le \int\limits_E S_n = \sum\limits_{k=1}^n \int\limits_E u_k [/math], а эта сумма имеет конечный предел.

Мы пришли к противоречию, значит, [math] \mu E_1 = 0 [/math].
[math]\triangleleft[/math]

Теорема Фату[править]

Теорема (Фату):
Пусть измеримые [math] f_n [/math] неотрицательны на [math] E [/math] и сходятся на [math] E [/math] по мере к функции [math] f [/math]. Тогда [math] \int\limits_E f \le \sup\limits_{n=1,2,\dots} \int\limits_E f_n [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

По теореме Рисса выделяем из [math] f_n [/math] сходящуюся почти всюду подпоследовательность. [math] f_n [/math] неотрицательна, [math] f_{n_k} \to f [/math], следовательно, [math] f [/math] тоже неотрицательна почти всюду на [math] E [/math], интеграл в неравенстве определен. Справа [math] sup [/math] — не уменьшая общности, можно считать, что [math] f_n \to f [/math] почти всюду.

Пусть [math] g_n = \min \{ f, f_n \} [/math] ([math] g_n [/math] — поточечный минимум);

[math] g_n [/math] — измерима ( [math] \min (x, y) = \frac{(x + y) - |x - y|}2 [/math] )

[math] g_n \le f_n [/math]. Докажем, что [math] \int\limits_E f \le \sup\limits_{n \in \mathbb N} \int\limits_E g_n [/math]

[math] f_n(x) \to f(x) \Rightarrow g_n(x) \to f(x) [/math]

[math] g_n \le f [/math] Рассмотрим два случая:

а) [math] \int\limits_E f \lt + \infty [/math]:

Тогда [math] f [/math] — суммируемая мажоранта для [math] g_n [/math], и по теореме Лебега [math] \int\limits_E g_n \to \int\limits_E f [/math], неравенство выполняется.

б) [math] \int\limits_E f = + \infty [/math].

Возьмем любое хорошее [math] E' [/math] для [math] f [/math]. [math] E' [/math] — множество конечной меры, [math] f [/math] на нем ограничена. [math] \int\limits_{E'} f \lt + \infty [/math]. Тогда по уже доказанному, [math] \int\limits_{E'} f \le \sup\limits_{n \in \mathbb N} \int\limits_{E'} f_n [/math].

Интеграл по любому хорошему [math] E' [/math] для [math] f [/math] не превосходит этой константы и, переходя к [math] \sup [/math] по [math] E [/math], получаем [math] \int\limits_E f \le \sup\limits_{n \in \mathbb N} \int\limits_E f_n [/math], что и требовалось доказать.
[math]\triangleleft[/math]

<<>>