Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега

Эта статья находится в разработке!

Теорема Лебега

Теорема (Лебег, о мажорируемой сходимости):

Пусть на E \subset X задана последовательность измеримых функций f_n, таких, что

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Из сходимости по мере по теореме Риса выделим сходящуюся подпоследовательность f_{n_k}.

[math]\triangleleft[/math]

\varphi d \mu < \varepsilon

\left| \int\limits_E f_n - \int\limits_E f \right| = \int\limits_E |f_n - f| = \int\limits_Шаблон:A \varepsilon |f_n - f| + \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} |f_n - f|

\int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} |f_n - f| \le \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} 2 \varphi < 2 \varepsilon (по выбору A_\varepsilon)

A_{\varepsilon} — хорошее, следовательно, \mu A_{\varepsilon} < + \infty, |\varphi(x)| \le M на A_\varepsilon, |f_n| \le \varphi \le M на A_\varepsilon, аналогично, f.

Тем самым, \int\limits_Шаблон:A \varepsilon |f_n - f| удовлетворяет теореме Лебега о предельном переходе под знаком опредленного интеграла, следовательно, \int\limits_Шаблон:A \varepsilon \rightarrow (n \to \infty) 0. Тогда и \int\limits_E |f_n - f| \rightarrow (n \to \infty) 0, что и требовалось доказать. }}

Примечание: Так как на множестве конечной меры их сходимости почти всюду вытекает сходимость по мере, то теорему Лебега можно было формулировать для сходимости почти всюду.

Теорема Леви

Избавимся от требования наличия суммируемой мажоранты ==

Теорема (Леви):

Пусть на E задана последовательность измеримых функций, каждая из которых почти всюду неотрицательна и f_n(x) \le f_{n+1}(x). f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) — почти везде конечна на E. Тогда:

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

В силу поточечной монотонности f_n, f как их предел, определена по теореме Вейерштрасса, предел измеримых функций измерим — все интегралы имеют смысл, функция неотрицательна. \int\limits_E f < + \infty, 0 < f_n \le f f — суммируемая мажоранта f_n и по теореме Лебега равенство( TODO: ???) выполняется. \int\limits_E f = + \infty: \forall m < N по определению интеграла неотрицательной функции \exists E_m — хорошее для f: m < \int\limits_{E_m} f d \mu. f ограничена на E_m, мера E_m — конечна, то константа, которой определяется f, может рассматриваться, как суммируемая мажоранта для f_n и по теореме Лебега, \int\limits_{E_m} f_n \to \int\limits_{E_m} f, и, начиная с N: m < \int\limits_{E_m} f_n. E_m \in E, f_n \ge 0, и по свойствам интеграла, \int\limits_{E_m} f_n \le \int\limits_{E} f_n и m < \int\limits_{E} f_n, \forall n > N, m — произвольное натуральное число, следовательно, \int\limits_{E} f_n \to + \infty = \int\limits_{E} f, что и требовалось доказать.

[math]\triangleleft[/math]

Следствие

Лемма (следствие):

Пусть u_n(x) \ge 0 на E и измеримы и \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_E u_n — сходится (< + \infty). Тогда \sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_n(x) сходится почти всюду на E.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Все интегралы определены (неотрицательные функции). S_n = \sum\limits_{k = 1}^{n} u_k(x) пшшш. Значит, у них есть предел. Установить что предел + \infty на нульмерном множестве. E_1 = E(S(x) = + \infty) S(x) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_n(x) TODO: блин, тут какое-то уг в конспекте Но к частичным суммам на E_1 применима теорема Леви и \int\limits_{E_1} S_n \to + \infty, но \int\limits_{E_1} S_n \le \int\limits_E S_n = \sum\limits_{k=1}^n \int\limits_E u_k \to конечный предел. Противоречие, \mu E_1 = 0, ч.т.д.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема Фату

Теорема (Фату):

Пусть измеримые f_n неотрицательны на E и сходятся на E по мере к функции f. Тогда \int\limits_E f \le \sup\limits_{n=1,2,\dots} \int\limits_E f_n.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

По теореме Риса выделяем из f_n сходящуюся почти всюду подпоследовательность. f_n неотрицательна, f_{n_k} \to f, следовательно, f тоже неотрицательна почти всюду на E, интеграл в неравенстве определен. Справа sup — не уменьшая общности считаем что с начала f_n \to f почти всюду. g_n = \min \{ f, f_n \} g_n — измерима ( \min (x, y) = \frac{(x + y) -

[math]\triangleleft[/math]

\forall \varepsilon > 0

\int\limits_E \int\limits_E \int\limits_E \int\limits_E \int\limits_E \int\limits_E \int\limits_E