Вопросы к экзамену по математическому анализу за 3 семестр

1. Полукольцо и алгебра множеств (примеры).
2. Мера на полукольце множеств и ее основные свойства.
3. Внешняя мера, порожденная мерой на полукольце.
4. Понятие о мю*- измеримых множествах. Доказательство основной теоремы.
5. Распространение меры с полукольца на сигма-алгебру по Каратеодори. Доказательство теоремы.
6. Теорема о повторном применении процесса Каратеодори.
7. Критерий мю*-измеримости.
8. Объем многомерного параллелепипеда и его основные свойства.
9. Объем, как мера на полукольце ячеек.
10. Некоторые классы измеримых по Лебегу множеств (счетные, открытые, замкнутые).
11. Теорема о внешней мере в R^n.
12. Структура измеримого по Лебегу множества.
13. Определение измеримых функций, теорема о множествах Лебега.
14. Арифметика измеримых функций.
15. Измеримость поточечного предела измеримых функций.
16. Эквивалентные функции и сходимость почти всюду.
17. Предел по мере и его единственность.
18. Теорема Лебега о связи сходимости п.в. и по мере.
19. Теорема Рисса.
20. Теорема Егорова.
21. Теоремы Лузина (без док-ва) и Фреше.
22. Суммы Лебега-Дарбу и их свойства, определение интеграла Лебега, совпадение интеграла Римана с интегралом Лебега.
23. Интегрируемость ограниченной, измеримой функции.
24. Счетная аддитивность интеграла.
25. Абсолютная непрерывность интеграла.
26. Арифметические свойства интеграла Лебега.
27. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла.
28. Определение интеграла от суммируемой функции.
29. Сигма-аддитивность интеграла неотрицательных функций.
30. Арифметические свойства интеграла неотрицательных функций.
31. О распространении основных свойств интеграла Лебега на суммируемые функции произвольного знака.
32. Теорема Лебега о мажорируемой сходимости.
33. Теорема Б.Леви и следствие о ряде из интегралов.
34. Теорема Фату.
35. Неравенства Гельдера и Минковского.
36. Пространства, [math]L_p[/math] полнота.
37. Всюду плотность множества С в пространствах [math]L_p[/math].
38. Мера цилиндра.
39. Мера подграфика.
40. Вычисление меры множества посредством его сечений.
41. Теорема Фубини.