Несовпадение класса языков, распознаваемых ДМП автоматами и произвольными МП автоматами

В отличие от конечных автоматов, для МП-автоматов недетерминизм является существенным. ДМП-автоматы распознают не все языки, распознаваемые МП-автоматами или КС-грамматиками.

Лемма:

Язык [math]L' = \left\{0^{n}1^{n}2^{n}\right\} \cup \left\{0^n1^n\right\} \cup \left\{0^n1^{2n}\right\}[/math] не является контекстно-свободным.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Для фиксированного [math]n[/math] рассмотрим слово [math]\omega=0^n 1^n 2^n[/math]. Пусть [math]\omega[/math] разбили на [math]u, v, x, y, z[/math] произвольным образом. Так как [math]|vxy|\leqslant n[/math], то в слове не содержится либо ни одного символа [math]0[/math], либо ни одного символа [math]2[/math]. Для любого такого разбиения выбираем [math]k=2[/math] и получаем, что количество символов [math]1[/math] изменилось, а количество либо [math]0[/math], либо [math]2[/math] осталось тем же. Очевидно, что такое слово не принадлежит рассмотренному языку. Значит, язык [math]L'[/math] не является контекстно-свободным по лемме о разрастании для КС-грамматик.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Классы языков, задаваемых МП-автоматами и ДМП-автоматами с допуском по допускающему состоянию не совпадают.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Автомат [math]M[/math] Автомат [math]M''[/math] Рассмотрим язык [math]L=\left\{0^n1^n\right\} \cup \left\{0^n1^{2n}\right\}[/math]. Очевидно, что язык [math]L[/math] является контекстно-свободным. Пусть существует ДМП-автомат с допуском по допускающему состоянию [math]M[/math], распознающий его. В силу детерминированности автомата [math](s, z_0, 0^n1^{2n})\vdash^*(q_1, \gamma_1, 1^n)\vdash^*(q_2, \gamma_2, \varepsilon)[/math], причём [math]q_1, q_2 \in T[/math]. Рассмотрим также язык [math]L'=\left\{0^n1^n2^n\right\}[/math]. Построим на основе [math]M[/math] недетерминированный МП-автомат, распознающий язык [math]L' = \left\{0^{n}1^{n}2^{n}\right\} \cup \left\{0^n1^n\right\} \cup \left\{0^n1^{2n}\right\}[/math]. Для начала построим по автомату [math]M[/math] автомат [math]M'[/math], заменив все вхождения символа [math]1[/math] на символ [math]2[/math]. Далее объединим автоматы [math]M[/math] и [math]M'[/math] в автомат [math]M''[/math], соединив допускающие состояния [math]\varepsilon[/math]-переходами (как показано на картинке). Автомат [math]M''[/math] является недетерминированным МП-автоматом, и принимает не контекстно-свободный язык [math]L'[/math]. Полученное противоречие доказывает, что нет ДМП-автомата с допуском по допускающему состоянию, распознающего язык [math]L[/math]. Но из того, что [math]L[/math] — контекстно-свободный следует, что есть недетерминированный МП-автомат, распознающий его.

[math]\triangleleft[/math]