Изменения
→Задача
Упрощение полигональной цепи {{---}} процесс, позволяющий уменьшить число точек полилинии.
==Задача==
Дана некоторая полилиния, заданная последовательностью точек <tex> a_1, a_2, ..., a_n</tex>, и некоторое <tex>\varepsilon</tex>. Требуется найти цепь <tex> a_1, a_i, a_j, ..., a_n </tex>, являющейся подпоследовательностью исходной, для которой . Для этой цепи верно, что для всех <tex>k</tex>, таких что <tex> i < k < j:</tex> <tex>\rho(a_k, Segment(a_i, a_j)) \le \varepsilon</tex> для любых соседних <tex>i</tex> и <tex>j</tex>.
Существует также альтернативная задача, в которой вместо <tex>\varepsilon</tex> задано число <tex>k</tex> вершин в итоговой цепи, . В этом случае требуется составить цепь <tex> a_1, a_i, a_j, ..., a_n </tex> заданной длины таким образом, что максимально необходимое <tex>\varepsilon</tex> для условия <tex> \rho(a_k, Segment(a_i, a_j)) \le \varepsilon</tex> было минимально.
Также упрощение можно выполнять с помощью введения новой полилинии, не сохраняющей точки исходной, но такая вариация задачи рассмотрена не будет.
==Обзор ускорения работы алгоритма Дугласа-Пекера==
Как описано выше, в худшем случае алгоритм работает за <tex>O(n^2)</tex>. Можно внести дополнения, которые позволят получить <tex>O(n\log n)</tex> в худшем случае. Ускорение основывается на уменьшении времени поиска наиболее удаленной вершины. Это можно осуществить благодаря идее о том, что наиболее удаленная вершина лежит на выпуклой оболочке полигональной цепи. Описание ускорения взято из статьи Хершберга(Hershberger) ''[http://www.bowdoin.edu/~ltoma/teaching/cs350/spring06/Lecture-Handouts/hershberger92speeding.pdf "Speeding Up the Douglas-Peucker Line-Simplification Algorithm"]'' (1992).
Для построения выпуклой оболочки используется [http://www.ams.sunysb.edu/~jsbm/courses/545/melkman.pdf алгоритм Мелкмана], который работает для двумерной полигональной цепи без самопересечений за <tex>O(n)</tex>, строя все промежуточные выпуклые оболочки, которые пригодятся в дальнейшем.
*[http://pers.narod.ru/algorithms/pas_dist_from_point_to_line.html Поиск расстояния от точки до отрезка]
*[http://algolist.manual.ru/maths/geom/distance/pointline.php Поиск расстояния от точки до прямой]
*[http://www.bowdoin.edu/~ltoma/teaching/cs350/spring06/Lecture-Handouts/hershberger92speeding.pdf "Speeding Up the Douglas-Peucker Line-Simplification Algorithm"]
*[http://www.ams.sunysb.edu/~jsbm/courses/545/melkman.pdf Алгоритм Мелкмана]
*[http://softsurfer.com/Archive/algorithm_0203/algorithm_0203.htm Алгоритм Мелкмана]
*[http://softsurfer.com/Archive/algorithm_0112/algorithm_0112.htm Двоичный поиск на выпуклой оболочке]
*[http://www.bowdoin.edu/~ltoma/teaching/cs350/spring06/Lecture-Handouts/deberg95new.pdf "A New Approach to Subdivision Simplification"]
*[http://www.codeproject.com/Articles/114797/Polyline-Simplification#headingRD Алгоритмы и визуализатор упрощения полигональной цепи]
[[Категория: Вычислительная геометрия]]
