1679
правок
Изменения
Нет описания правки
В этом параграфе установим ряд (теорем?), гарантирующих, что <tex>\lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_0^\pi \varphi_x(t) D_n(t) dt = 0</tex>, что равносильно <tex>s_n(f, x) \to s</tex>.
__TOC__
== Теорема Дини ==
{{Теорема
Выведем некоторые следствия
=== Следствие о четырех пределах ===
{{Утверждение
|about=следствие 1 (о четырёх пределах)
|statement=Пусть в точке <tex>x</tex> существует <tex>f(x \ne pm 0)</tex> (левый и правый пределы) и <tex>\exists\alpha=\lim\limits_{t\to +0} \frac{f(x+t) - f(x+0)}{t}</tex>, <tex>\exists\beta=\lim\limits_{t\to+0} \frac{f(x-t)-f(x-0)}{t}</tex>. Тогда в этой точке ряд Фурье сходится, его сумма равна<tex>\frac{f(x+0)+f(x-0)}2</tex>
|proof=
''Примечание'': Очевидно, что все четыре предела будут, если в точке <tex>x</tex> у <tex>f</tex> есть производная.
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>x</tex> {{---}} регулярная точка функции и <tex>s_n(f, x) \to s</tex>.
Тогда <tex>y = \frac{f(x+0)-f(x-0)}2</tex>
|proof=
Способ средних арифметических регулярен: то есть, если <tex>s_n\ to s</tex>, то и <tex>\delta_n\to s</tex>.
Тогда, по единству единственности предела, <tex>s=\frac{f(x+0)-f(x-0)}{2}</tex>}}
{{Утверждение
|statement=<tex>f, g \in C</tex>, <tex>a_n(f)=a_n(g)</tex>, <tex>b_n(f) = b_n(g)</tex>, тогда <tex>f=g</tex>
|proof=Действительно, из совпадания коэффициентов Фурье вытекает совпадение сумм Фейера, но в силу принадлежности <tex>C</tex>, <tex>\delta_n \to f</tex>, <tex>\delta_n \to g</tex>. Тогда, совпоставляя с равентсом сумм, по
единственности предела, <tex>\ f=g</tex>
}}
