Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега

<<>>

Теорема Лебега

Теорема (Лебег, о мажорируемой сходимости):

Пусть на [math] E \subset X [/math] задана последовательность суммируемых функций [math] f_n [/math], таких, что [math] |f_n(x)| \le \varphi(x) [/math] почти всюду, где [math] \varphi [/math] — суммируемая. Пусть [math] f_n \underset{E}{\Rightarrow} f [/math] (по мере). Тогда допустим предельный переход под знаком интеграла: [math] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_E f_n = \int\limits_E f [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] f_n \underset{E}{\Rightarrow} f [/math], следовательно, по теореме Рисса, можно выделить сходящуюся подпоследовательность [math] f_{n_k} [/math]. [math] |f_{n_k}(x)| \le \varphi(x) [/math]. Устремим [math] k [/math] к бесконечности, тогда [math] |f(x)| \le \varphi(x) [/math]. По определению интеграла, [math] \forall \varepsilon \gt 0[/math], можно подобрать [math] A_\varepsilon [/math] — хорошее для [math] \varphi: \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} \varphi d \mu \lt \varepsilon [/math]. [math] \left| \int\limits_E f_n - \int\limits_E f \right| \le \int\limits_E |f_n - f| = \int\limits_{{A_\varepsilon}} |f_n - f| + \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} |f_n - f| [/math] [math] \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} |f_n - f| \le \int\limits_{\overline {A_\varepsilon}} 2 \varphi \lt 2 \varepsilon [/math] (по выбору [math] A_\varepsilon [/math]) [math] A_{\varepsilon} [/math] — хорошее, следовательно, [math] \mu A_{\varepsilon} \lt + \infty [/math], следовательно, [math] |\varphi(x)| \le M [/math] на [math] A_\varepsilon [/math]. [math] |f_n|, |f| [/math] мажорируются [math] \varphi \le M [/math] на [math] A_\varepsilon [/math]. Тем самым, [math] \int\limits_{{A_\varepsilon}} |f_n - f| [/math] удовлетворяет теореме Лебега о предельном переходе под знаком опредленного интеграла, следовательно, [math] \int\limits_{{A_\varepsilon}} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 [/math]. Тогда и [math] \int\limits_E |f_n - f| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 [/math], что и требовалось доказать.

[math]\triangleleft[/math]

Примечание: Так как на множестве конечной меры из сходимости почти всюду вытекает сходимость по мере, то теорему Лебега можно было формулировать для сходимости почти всюду.

Теорема Леви

Избавимся от требования наличия суммируемой мажоранты:

Теорема (Леви):

Пусть на [math] E [/math] задана последовательность измеримых функций, каждая из которых почти всюду неотрицательна и [math] f_n(x) \le f_{n+1}(x) [/math]. [math] f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) [/math] — почти везде конечна на [math] E [/math]. Тогда [math] \lim\limits_n \int\limits_E f_n = \int\limits_E f [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

В силу поточечной монотонности [math] f_n [/math], [math] f [/math], как их предел, определена по теореме Вейерштрасса, предел измеримых функций измерим, поэтому все интегралы имеют смысл, функция неотрицательна. Если [math] \int\limits_E f \lt + \infty, 0 \lt f_n \le f [/math], то [math] f [/math] — суммируемая мажоранта [math] f_n [/math], и, по теореме Лебега, равенство выполняется. Если же [math] \int\limits_E f = + \infty [/math], то для любого [math] m \in \mathbb N [/math], по определению интеграла неотрицательной функции, существует [math] \exists E_m [/math] — хорошее для [math] f: m \lt \int\limits_{E_m} f d \mu [/math]. [math] f [/math] ограничена на [math] E_m [/math], мера [math] E_m [/math] — конечна, значит, константа, которой определяется [math] f [/math], может рассматриваться, как суммируемая мажоранта для [math] f_n [/math] и, по теореме Лебега, [math] \int\limits_{E_m} f_n \to \int\limits_{E_m} f [/math]. Поэтому, начиная с [math] N, m \lt \int\limits_{E_m} f_n [/math]. Но [math] E_m \subset E, f_n \ge 0 [/math], и по свойствам интеграла, [math] \int\limits_{E_m} f_n \le \int\limits_{E} f_n [/math] и [math] m \lt \int\limits_{E} f_n, \forall n \gt N [/math], [math] m [/math] — произвольное натуральное число, следовательно, [math] \int\limits_{E} f_n \to + \infty = \int\limits_{E} f [/math], что и требовалось доказать.

[math]\triangleleft[/math]

Следствие

Лемма (следствие):

Пусть [math] u_n(x) \ge 0 [/math] на и измеримы на [math] E [/math], и [math] \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \int\limits_E u_n [/math] — сходится. Тогда [math] \sum\limits_{n = 1}^{\infty} u_n(x) [/math] сходится почти всюду на [math] E [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Все интегралы определены (неотрицательные функции). [math] S_n = \sum\limits_{k = 1}^{n} u_k(x) [/math] с ростом [math] n [/math] возрастает. Мы хотим установить, что предел [math] S(x) \rightarrow + \infty [/math] самое большее — на нульмерном множестве. Пусть [math] E_1 = E(S(x) = + \infty) [/math] и [math] \mu E_1 \gt 0 [/math]. Тогда [math] \int\limits_{E_1} S(x) d\mu = \infty [/math]. Но к частичным суммам на [math] E_1 [/math] применима теорема Леви и [math] \int\limits_{E_1} S_n \to + \infty [/math], при этом [math] \int\limits_{E_1} S_n \le \int\limits_E S_n = \sum\limits_{k=1}^n \int\limits_E u_k [/math], а эта сумма имеет конечный предел. Мы пришли к противоречию, значит, [math] \mu E_1 = 0 [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема Фату

Теорема (Фату):

Пусть измеримые [math] f_n [/math] неотрицательны на [math] E [/math] и сходятся на [math] E [/math] по мере к функции [math] f [/math]. Тогда [math] \int\limits_E f \le \sup\limits_{n=1,2,\dots} \int\limits_E f_n [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

По теореме Рисса выделяем из [math] f_n [/math] сходящуюся почти всюду подпоследовательность. [math] f_n [/math] неотрицательна, [math] f_{n_k} \to f [/math], следовательно, [math] f [/math] тоже неотрицательна почти всюду на [math] E [/math], интеграл в неравенстве определен. Справа [math] sup [/math] — не уменьшая общности, можно считать, что [math] f_n \to f [/math] почти всюду. Пусть [math] g_n = \min \{ f, f_n \} [/math] ([math] g_n [/math] — поточечный минимум); [math] g_n [/math] — измерима ( [math] \min (x, y) = \frac{(x + y) - |x - y|}2 [/math] ) [math] g_n \le f_n [/math]. Докажем, что [math] \int\limits_E f \le \sup\limits_{n \in \mathbb N} \int\limits_E g_n [/math] [math] f_n(x) \to f(x) \Rightarrow g_n(x) \to f(x) [/math] [math] g_n \le f [/math] Рассмотрим два случая: а) [math] \int\limits_E f \lt + \infty [/math]: Тогда [math] f [/math] — суммируемая мажоранта для [math] g_n [/math], и по теореме Лебега [math] \int\limits_E g_n \to \int\limits_E f [/math], неравенство выполняется. б) [math] \int\limits_E f = + \infty [/math]. Возьмем любое хорошее [math] E' [/math] для [math] f [/math]. [math] E' [/math] — множество конечной меры, [math] f [/math] на нем ограничена. [math] \int\limits_{E'} f \lt + \infty [/math]. Тогда по уже доказанному, [math] \int\limits_{E'} f \le \sup\limits_{n \in \mathbb N} \int\limits_{E'} f_n [/math]. Интеграл по любому хорошему [math] E' [/math] для [math] f [/math] не превосходит этой константы и, переходя к [math] \sup [/math] по [math] E [/math], получаем [math] \int\limits_E f \le \sup\limits_{n \in \mathbb N} \int\limits_E f_n [/math], что и требовалось доказать.

[math]\triangleleft[/math]

<<>>