1679
правок
Изменения
Нет описания правки
* <tex>X = \mathbb{R}, \rho(x, y) = | x - y |</tex>111
* <tex>X = \mathbb{R}^n, \rho(\overline x, \overline y) = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}</tex>
* <tex>X = \mathbb{R}^{\infty}</tex>. Превращение в МП должно быть связано с желаемой операцией предельного перехода. В случае конечномерного пространства сходимость совпадает с покоординатной сходимостью, хотим того же самого для бесконечномерного. Введем метрику: <tex>\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} {1 \over 2^n}{|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}</tex>(TODO: как она называется, кстати?). Проверим, что эта метрика удовлетворяет аксиомам:
** этот ряд всегда сходящийся, так как мажорируется убывающей геометрической прогрессией <tex>\sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} = 1</tex>, соответственно, расстояние ограничено единицей.
** первая аксиома: неотрицательность очевидна, равенство метрики нулю в обе стороны очевидно
|proof=
на лекции не было, видимо, было на 1 курсе тут [[Теорема_Хаусдорфа_об_ε-сетях]]
}}
Пример: $R^{\infty}$ — полное, так как метрика индуцирует покоординатную сходимость. TODO: пшшш какая-то хрень про диагональ Кантора.
{{Утверждение
|statement=
$\Pi = [a_1, b_1] \times \dots \times [a_n, b_n] \dots$ — компакт в $R^{\infty}$.
|proof=
$\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} {|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}$, где ${|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|} \le 1$, также $\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: \sum\limits_{n = n_0 + 1}^{\infty} {1 \over 2^n} < \varepsilon$. Таким образом, для каждого $\varepsilon$ можно выбрать номер координаты $n_0$, такой что все координаты с большими $n_0$ номерами суммарно влияют на метрику не больше, чем на $\varepsilon$.
Расмотрим $\Pi_{n_0} = [a_1, b_1] \times \dots \times [a_n, b_n] \subset R^{n_0}$ — для него можно составить конечную $\varepsilon$-сеть $A$ (понятно что по каждой координате это сделать легко, а дальше возьмем декартово произведение). Сделаем сеть $A'$ для $\Pi$ следующим образом: к каждой $n_0$-мерной точке из $A$ допишем произвольные координаты $x_{n_0 + 1}, x_{n_0 + 2} \dots$.
* По выбору $\varepsilon$: $\forall x' \in \Pi \exists x \in \Pi_{n_0}: \rho (x', x) < \varepsilon$.
* По определению $\varepsilon$-сети для $A$: $\forall \varepsilon > 0 \forall x \in \Pi_{n_0} \exists a \in A: \rho(x, a) < \varepsilon$.
* По построению $A'$ и выбору $\varepsilon$, $\forall a \in A \exists a' \in A': \rho(a, a') < \varepsilon$.
Таким образом, $\forall \varepsilon > 0 \forall x' \in \Pi \exists a' \in A': \rho(x', a') \le \rho(x', x) + \rho(x, a) + \rho(a, a') \le 3 \varepsilon$, то есть построили конечную $3\varepsilon$-сеть.
}}
</wikitex>
