1679
правок
Изменения
Нет описания правки
Характеристика непрерывных отображений ТП: $f$ непрерывно тогда и только тогда, когда для любого $G' \in \tau_2: f^{-1}(G') \in \tau_1$, то есть прообраз любого открытого множества также открыт. (TODO: в конспекте только в прямую сторону, но вообще вроде это критерий. Док-во есть в Колмогорове, элементы теории функции и функана, 6 издание, страница 107)
# Очевидно (видимо, $X = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty}U_i(x)$, где $x$ — любая точка $X$ если оно непустое, а если пустое, то просто не будем брать ни одного множества)
# Очевидно (TODO: а по-моему, не очень очевидно, как показатьесли считать очевидным факт, что несчетное объединение несчетных/счетных объединений шаров — просто множеств есть несчетное объединение шаров?множество. Понятно, что счетным оно быть не может, но неясно как выб)
# Докажем для пересечения двух, дальше по индукции:
#: $G_1 \bigcap G_2 = (\bigcup \limits_{\alpha} V') \bigcap (\bigcup \limits_{\beta} V'') = \bigcup \limits_{\alpha, \beta} (V' \bigcap V'')$. (TODO: интересноТо, почему что так можно так сделать, доказывается включением в обе стороны)#: Рассмотрим $V' \bigcap V''$: $\forall x \in V' \bigcap V'' \exists V(x) \subset V' \bigcap V''$ (раньше когда-то доказывали), тогда $V' \bigcap V'' = \bigcup\limits_{x \in V' \cap V''} V(x)$ (TODO: опять же, интересно, почему счетное/несчетное объединение несчетного числа шаров — счетное/несчетное объединение шаров)
В данном случае открытые множества были получены объединением открытых шаров — множеств более узкого класса. Это один из общих приемов превращения произвольного пространства в топологическое, открытые шары здесь — база топологии.
|id=deftbase
|definition=
'''Базой топологии''' называют... TODO пщщ в конспекте какая-то хрень, кажется нет определения и только одно из двух свойство.
}}
</wikitex>
Всякие ссылочки по теме:
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Topological_space Topological space]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Interior_(topology) Interior (topology)]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Closure_(topology) Closure (topology)]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Dense_(topology) Dense (topology)]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Nowhere_dense_set Nowhere dense set]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Compact_space Compact space]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Totally_bounded_space Totally bounded space]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Base_(topology) Base (topology)
