Гильбертовы пространства

Эта статья находится в разработке!

<wikitex>

Определение:

Скалярным произведением в действительном линейном пространстве называется функция $\langle \cdot, \cdot \rangle : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, удовлетворяющяя следующим аксиомам: $\langle x, x \rangle \ge 0$ и $\langle x, x \rangle = 0 \Leftrightarrow x = 0$ $\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle$ $\langle \alpha x + \beta y, z \rangle = \alpha \langle x, z \rangle + \beta \langle y, z \rangle$ Пару из линейного пространства и скалярного произведения на нем называют евклидовым пространством TODO в конспекте почему-то унитарное, но унитарное — это же комплексное(

Пример:

• $X = \mathbb{R}^n, \langle \overline x, \overline y \rangle = \sum\limits_{k=1}^n x_k y_k$
• $X = \ell_2$, то есть множество бесконечных числовых последовательностей, сумма квадратов которых сходится ($x = (x_1, x_2 \dots x_n \dots), \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i^2 < + \infty$). $\langle x, y\rangle = \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i y_i$, сходимость этого ряда и аксиомы скалярного произведения доказаны тут.

В УП выполняется неравенство Шварца : $|\langle x, y\rangle| \le \sqrt{\langle x, x \rangle} \sqrt{\langle y, y \rangle}$

УП — частный случай нормированных пространств: можно ввести норму как $\| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$, неравенство Шварца используется для доказательства того, что третья аксиома нормы выполняется.

Для нормы, порожденной скалярным произведением выполняется равенство параллелограмма: $\| x + y \|^2 + \| x - y \|^2 = 2 \| x \|^2 + 2 \| y \|^2$.

Определение:

Гильбертовым пространством называют Банахово пространство, в котором норма порождена скалярным произведением.

Пусть $M$ — выпуклое замкнутое множество в $H$, тогда $\forall x \in H \exists z \in M: \| x - z \| = \inf\limits_{y \in M} \| x - y\|$. $z$ называется элементом наилучшего приближени (док-во в прошлом семестре).

Определение:

Пусть $H_1$ — подпространство в $H$, тогда ортогональным дополнением называется $H_2 = H_1^{\perp} = \{ x \in H \mid \forall y \in H_1: x \perp y\}$.

TODO: что-то неразборчивое про прямую сумму

Лемма (Рисc, о почти перпендикуляре):

Пусть $X$ — НП, а $Y$ - собственное подпространство $X$, тогда $\forall \varepsilon \in (0, 1) \; \exists z_{\varepsilon} \in X : \

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Если $Y$ — строго подмножество $X$, то существует $x_0 \notin Y$. $d = \rho(x_0, Y) = \inf\limits_{y \in Y} \

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (некомпактность шара в бесконечномерном пространстве):

Если $X$ - бесконечномерное НП, то единичный шар $S_1 = \{ x \in X \mid \

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Возьмем $x \in S_1$, $Y_1 = \mathcal{L}(x_1)$ — собственное подпространство $X$ (TODO: Што?? почему собственное?), применим лемму Рисса, возьмем $\varepsilon = {1 \over 2}$, существует $x_2: \

[math]\triangleleft[/math]

В Гильбертовых пространствах важно понятие ортонормированной системы точек: $e_1 \dots e_n \dots \in H, \langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}$.

Рассмотрим для точки $x \in H$ абстрактный ряд Фурье $\sum_{i=1}^{\infty} \langle x, e_i \rangle e_i$, $\langle x, e_i\rangle$ называют абстрактными коэффициентами Фурье.

$T_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k e_k \in \mathcal{L}(e_1 \dots e_n) = H_n$

Теорема: $\forall x \in H: \rho(x, H_n) = \| x - \sum\limits_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle e_i \| $. TODO: найти доказательство, где-то было оно

Теорема (Бессель, неравенство Бесселя):

$ \sum \limits_{k=1}^{\infty} (x, e_k)^2 \le \

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Для некоторого набора коэффициентов $ \beta_k $ рассмотрим скалярное произведение: $ 0 \le (x - \sum \limits_{k=1}^n \beta_k e_k, x - \sum \limits_{k=1}^n \beta_k e_k) = \

[math]\triangleleft[/math]

Интересно рассмотреть, когда для всех $x$ неравенство превращается в равенство.

Теорема (TODO равенство Парсеваля вроде?):

В неравенстве Бесселя для любого $x$ будет равенство тогда и только тогда, когда ортонормированная система точек, по которым строятся коэффициенты Фурье, полная или замкнутая. TODO: пшшш, что-то неразборчивое

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

???

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (Рисс-Фишер):

Пусть $\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}$ - ортонормированная система в гильбертовом пространстве $H$, $\sum\limits_{i=1}^{\infty} \alpha_i^2 \leq +\infty<$. Тогда $\exists ! x \in H : \alpha_i = \langle x, e_i \rangle$ и выполняется равенство Парсеваля: $\sum \alpha_i^2(x) = \

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

???

[math]\triangleleft[/math]

TODO: далее идет что-то бредовое

Вопрос: какое топологическое свойство характеризует существование базиса: замкнутость ОНС? Достаточно требовать, чтобы $H$ было сепарабельным: $\exists A = \{ a_1 \dots a_n \dots \}, \mathrm{Cl} A = H$ — счетное всюду плотное.

$\mathrm{Cl}\mathcal{L}(a_1 \dots a_n \dots) = H$, следовательно, надо превратить в ОНС, чтобы линейная оболочка совпала. ОНС строится процедурой Грама-Шмидта.

Ссылочки:

• Dot product
• Sequence space
• Riesz's lemma

</wikitex>