Гильбертовы пространства

Определение:

Скалярным произведением в действительном линейном пространстве [math]X[/math] называется функция [math]\langle \cdot, \cdot \rangle : X \times X \to \mathbb{R}[/math], удовлетворяющая следующим аксиомам: [math]\langle x, x \rangle \ge 0[/math] и [math]\langle x, x \rangle = 0 \iff x = 0[/math] [math]\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle[/math] [math]\langle \alpha x + \beta y, z \rangle = \alpha \langle x, z \rangle + \beta \langle y, z \rangle[/math] Пару из линейного пространства и скалярного произведения на нем называют евклидовым пространством (в конспекте: унитарное пространство)

Пример:

• [math]X = \mathbb{R}^n, \langle \overline x, \overline y \rangle = \sum\limits_{k=1}^n x_k y_k[/math]
• [math]X = \ell_2[/math], то есть множество бесконечных числовых последовательностей, сумма квадратов которых сходится ([math]x = (x_1, x_2 \dots x_n \dots), \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i^2 \lt + \infty[/math]). [math]\langle x, y\rangle = \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i y_i[/math], сходимость этого ряда и аксиомы скалярного произведения доказаны тут.

В УП выполняется неравенство Шварца : [math]|\langle x, y\rangle| \le \sqrt{\langle x, x \rangle} \sqrt{\langle y, y \rangle}[/math]

УП — частный случай нормированных пространств: можно ввести норму как [math]\| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle}[/math], неравенство Шварца используется для доказательства того, что третья аксиома нормы выполняется.

Для нормы, порожденной скалярным произведением выполняется равенство параллелограмма: [math]\| x + y \|^2 + \| x - y \|^2 = 2 \| x \|^2 + 2 \| y \|^2[/math].

Определение:

Гильбертовым пространством называют Банахово пространство, в котором норма порождена скалярным произведением.

Теорема:

Пусть [math]M[/math] — выпуклое замкнутое множество в [math]H[/math], тогда [math]\forall x \in H\ \exists z \in M: \| x - z \| = \inf\limits_{y \in M} \| x - y\|[/math]. [math]z[/math] называется элементом наилучшего приближения

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

Говорят, что два элемента [math] x, y [/math] гильбертова пространства [math] H [/math] перпендикулярны ([math] x \perp y [/math]), если [math] \langle x, y \rangle = 0. [/math]

Определение:

Пусть [math]H_1[/math] — подпространство в [math]H[/math], тогда ортогональным дополнением называется [math]H_2 = H_1^{\perp} = \{ x \in H \mid \forall y \in H_1: x \perp y\}[/math].

Теорема:

Пусть [math] H_1 [/math] — подпространство в [math]H[/math], [math] H_2 [/math] — его ортогональное дополнение. Тогда для любого [math] x \in H [/math] существует единственное представление [math] x = x_1 + x_2 [/math], где [math] x_1 \in H_1, x_2 \in H_2 [/math] и [math] x_1 \perp x_2 [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Доказательство из [1] Положим [math]d = \rho(x, H_1)[/math], [math]d_n=d+\frac1n[/math] и для каждого [math]n\in\mathbb{N}[/math] найдём [math]x_n \in H_1[/math] такой, что [math]\|x-x_n\|\lt d_n[/math]. По равенству параллелограмма, [math]\|2x-(x_n+x_m)\|^2+\|x_m-x_n\|^2 = 2(\|x-x_n\|^2+\|x_m-x\|^2)[/math]. Так как [math]\frac{x_n+x_m}{2}\in H_1[/math], то [math]\|x-\frac{x_n+x_m}2\|\ge d[/math] или [math]\|2x-(x_n+x_m)\|^2\ge 4d^2[/math]. Тогда получаем, что [math]\|x_m-x_n\|^2\le2(d_n^2+d_m^2)-4d^2[/math]. Но [math]d_n, d_m \to d[/math], и потому [math]\|x_m-x_n\|_{n,m\to\infty}\to0[/math], то есть, последовательность [math]\{x_n\}[/math] — фундаментальная. Вследствие полноты [math]H[/math], существует [math]x'=\lim x_n[/math], а так как множество [math]H_1[/math] замкнуто (по определению подпространства), то [math]x'\in H_1[/math]. При этом [math]\|x-x'\|=\lim \|x-x_n\|[/math] и из [math]\|x-x_n\|\le d_n[/math] следует, что [math]\|x-x'\|\le d[/math]. Но так как знак «меньше» невозможен, то [math]\|x-x'\|=d[/math]. Теперь положим [math]x''=x-x'[/math] и покажем, что [math]x''\in H_2[/math], то есть, [math]x'' \perp H_1[/math]. Возьмём [math]y\in H_1\setminus \{0\}[/math]. При любом [math]\lambda[/math] имеем [math]x'+\lambda y \in H_1[/math], так что [math]\|x''-\lambda y\|^2=\|x-(x'+\lambda y)\|^2 \ge d^2[/math], что можно, воспользовавшись [math]\|x-x'\|=d[/math], переписать в форме: [math]-\lambda \langle x'',y\rangle-\lambda\langle y,x''\rangle +|\lambda|^2\langle y,y\rangle \ge 0[/math]. В частности, при [math]\lambda=\frac{\langle x'',y\rangle }{\langle y,y\rangle }[/math] получаем отсюда: [math]-\frac{|\langle x'',y\rangle |^2}{\langle y,y\rangle }-\frac{|\langle x'',y\rangle|^2}{\langle y,y \rangle}+\frac{|\langle x'',y \rangle|^2}{\langle y,y \rangle}\ge 0[/math], то есть, [math]|\langle x'',y \rangle|^2 \le 0[/math], что может быть только лишь в случае [math]\langle x'',y \rangle=0[/math]. Итак, возможность представления [math]x[/math] в форме [math]x=x'+x''[/math] и соотношение [math]\|x-x'\|=\rho(x, H_1)[/math] установлены. Докажем единственность такого представления. В самом деле, если [math]x=x_1'+x_1''[/math] ([math]x_1'\in H_1[/math],[math]x_1''\in H_2[/math]), то сопоставив это с [math]x=x'+x''[/math], получим [math] x'-x_1'=x_1''-x''[/math]. Поскольку [math]x'-x_1' \in H_1[/math], [math]x_1''-x''\in H_2[/math], то [math]x'-x_1' \perp x_1''-x''[/math], откуда получаем [math]x'-x_1' = x_1''-x'' = 0[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (Рисc, о почти перпендикуляре):

Пусть [math]X[/math] — НП, а [math]Y[/math] — собственное (то есть не совпадающее с [math]X[/math]) подпространство [math]X[/math], тогда [math]\forall \varepsilon \in (0, 1) \; \exists z_{\varepsilon} \in X : \|z_{\varepsilon}\| = 1,\; \rho(z_{\varepsilon}, Y) \geq 1 - \varepsilon[/math] (где [math]\rho(z, Y) = \inf\limits_{y \in Y} \|z-y\|[/math])

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Если [math]Y[/math] — строго подмножество [math]X[/math], то существует [math]x_0 \notin Y[/math]. [math]d = \rho(x_0, Y) = \inf\limits_{y \in Y} \| x_0 - y \|[/math] Пусть [math]d = 0[/math], тогда [math]\forall n \in \mathbb{N} \exists y_n \in Y: \| x_0 - y_n \| \lt {1 \over n}[/math], то есть [math]y_n \to x_0[/math]. [math]Y[/math] — замкнутое, следовательно, [math]x_0 \in Y[/math], то есть получили противоречие и [math]d \gt 0[/math]. [math]\varepsilon \in (0, 1)[/math], тогда [math]{1 \over 1 - \varepsilon} \gt 1[/math], [math]\exists y_{\varepsilon} \in Y: \| x_0 - y_{\varepsilon} \| \lt {1 \over 1 - \varepsilon} d[/math]. Рассмотрим [math]z_{\varepsilon} = {x_0 - y_{\varepsilon} \over \| x_0 - y_{\varepsilon} \|}, \| z_{\varepsilon}\| = 1[/math] [math]\forall y \in Y: \| z_{\varepsilon} - y \| = \left\| {x_0 - y_{\varepsilon} \over \| x_0 - y_{\varepsilon} \|} - y \right\| = {\| x_0 - y_{\varepsilon} - y \| x_0 - y_{\varepsilon} \| \| \over \| x_0 - y_{\varepsilon} \| }[/math]. [math]y_{\varepsilon} + y \| x_0 - y_{\varepsilon}\|[/math] по линейности [math]Y[/math] лежит в [math]Y[/math] так как оно замкнуто, тогда числитель будет больше [math]d[/math], а знаменатель — меньше [math]{1 \over 1 - \varepsilon} d[/math], то есть дробь будет больше [math]1 - \varepsilon[/math]. Таким образом, для любого [math]y[/math] из [math]Y[/math] подобрали [math]z_{\varepsilon}[/math] из [math]X[/math], что [math]\|z_{\varepsilon} - y \|[/math] не меньше [math]1 - \varepsilon[/math], а тогда и [math]\rho(z_{\varepsilon}, Y)[/math] будет не меньше [math]1 - \varepsilon[/math] по свойствам инфимума.

[math]\triangleleft[/math]

Смысл данной леммы состоит в том, что в произвольном нормированном пространстве [math] X [/math] для сколь угодно малого [math] \varepsilon [/math] и произвольного подпространства [math] Y [/math] найдется элемент, который будет к нему перпендикулярен с точностью до [math] \varepsilon [/math].

Теорема (некомпактность шара в бесконечномерном пространстве):

Если [math]X[/math] - бесконечномерное НП, то единичный шар [math]S_1 = \{ x \in X \mid \|x \| = 1\}[/math] в нем не компактен.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Возьмем [math]x \in S_1[/math], [math]Y_1 = \mathcal{L}(x_1)[/math] — собственное подпространство [math]X[/math], применим лемму Рисса, возьмем [math]\varepsilon = {1 \over 2}[/math], существует [math]x_2: \| x_2 \| = 1, \| x_2 - x_1 \| \ge {1 \over 2}[/math], заметим, что [math]x_2[/math] окажется в [math]S_1[/math]. [math]Y_2 = \mathcal{L}(x_1, x_2)[/math], опять применим лемму Рисса, существует [math]x_3 \in X: \| x_3 - x_j \| \ge {1 \over 2}, j = 1, 2[/math], [math]x_3[/math] будет в [math]S_1[/math]. Продолжаем так же для [math]Y_3 \dots Y_n \dots[/math]. Процесс никогда не завершится, так как [math]X[/math] — бесконечномерное и не может быть линейной оболочкой конечного числа векторов. Таким образом построили бесконечную систему точек в [math]S_1[/math], из которой нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность, так как [math]\| x_n - x_m \| \ge {1 \over 2}[/math], следовательно, [math]S_1[/math] не компактно.

[math]\triangleleft[/math]

В Гильбертовых пространствах важно понятие ортонормированной системы точек: [math]e_1 \dots e_n \dots \in H, \langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}[/math].

Рассмотрим для точки [math]x \in H[/math] абстрактный ряд Фурье [math]\sum_{i=1}^{\infty} \langle x, e_i \rangle e_i[/math], [math]\langle x, e_i\rangle[/math] называют абстрактными коэффициентами Фурье.

[math]T_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k e_k \in \mathcal{L}(e_1 \dots e_n) = H_n[/math]

Теорема:

[math]\forall x \in H: \inf\limits_{h \in H_n} \|x - h \| = \| x - \sum\limits_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle e_i \| [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Доказательство есть здесь: L_2-теория рядов Фурье.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (Бессель, неравенство Бесселя):

[math] \sum \limits_{k=1}^{\infty} \langle x, e_k \rangle^2 \le \|x\|^2[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Для некоторого набора коэффициентов [math] \beta_k [/math] рассмотрим скалярное произведение: [math] 0 \le (x - \sum \limits_{k=1}^n \beta_k e_k, x - \sum \limits_{k=1}^n \beta_k e_k) = \|x\|^2 - 2\sum \limits_{k=1}^n \beta_k (x, e_k) + \sum \limits_{k=1}^n \beta_k^2 = [/math] [math] = \|x\|^2 + \sum \limits_{k=1}^n (\beta_k^2 - 2(x, e_k)\beta_k) = \|x\|^2 + \sum \limits_{k=1}^n (\beta_k - (x, e_k))^2 - \sum \limits_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle ^2 [/math]. Теперь, пусть [math] \beta_k = (x, e_k) [/math], имеем [math] 0 \le \|x\|^2 - \sum \limits_{k=1}^n (x, e_k)^2 [/math], устремив [math] n [/math] к бесконечности, получим требуемое.

[math]\triangleleft[/math]

Интересно рассмотреть, когда для всех [math]x[/math] неравенство превращается в равенство.

Теорема (равенство Парсеваля):

[math]\forall x: \|x\|^2 = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \langle x, e_k \rangle ^2 [/math] тогда и только тогда, когда ортонормированная система точек, по которым строятся коэффициенты Фурье, полная или замкнутая.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Это доказательство (правда, по кускам) тоже есть здесь: L_2-теория рядов Фурье.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (Рисс-Фишер):

Пусть [math]\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}[/math] - ортонормированная система в гильбертовом пространстве [math]H[/math], [math]\sum\limits_{i=1}^{\infty} \alpha_i^2 \lt +\infty[/math]. Тогда [math]\exists ! x \in H : \alpha_i = \langle x, e_i \rangle[/math] и выполняется равенство Парсеваля: [math]\sum \alpha_i^2(x) = \|x\|^2[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

И это доказательство тоже здесь есть: Теорема Рисса-Фишера.

[math]\triangleleft[/math]

Можно задаться вопросом: какое топологическое свойство характеризует существование ортонормированного базиса?

Теорема:

Пусть [math]H[/math] — сепарабельное. Тогда в [math] H [/math] существует ортнормированный базис.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\exists A = \{ a_1 \dots a_n \dots \}, \mathrm{Cl} A = H[/math] — счетное всюду плотное. [math]\mathrm{Cl}\mathcal{L}(a_1 \dots a_n \dots) = H[/math], следовательно, надо превратить в ОНС, чтобы линейная оболочка совпала. ОНС строится процедурой Грама-Шмидта.

[math]\triangleleft[/math]

Ссылки

• Dot product
• Sequence space
• Riesz's lemma