1679
правок
Изменения
Нет описания правки
Пример:
* $X = \mathbb{R}^n, \langle \overline x, \overline y \rangle = \sum\limits_{k=1}^n x_k y_k$
* $X = \ell_2$, то есть множество бесконечных числовых последовательностей, сумма квадратов которых сходится ($x = (x_1, x_2 \dots x_n \dots), \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i^2 < + \infty$). $\langle x, y\rangle y = \sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i y_i$, сходимость этого ряда и аксиомы скалярного произведения доказаны [[Нормированные пространства#Пространство последовательностей | тут]].
В УП выполняется [[Нормированные пространства#Гильбертовы пространства | неравенство Шварца]] : $|\langle x, y\langle yrangle| \le \sqrt{\langle x, x \rangle} \sqrt{\langle y, y \rangle}$
УП — частный случай [[нормированных пространств]]: можно ввести норму как $\| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$, неравенство Шварца используется для доказательства того, что третья аксиома нормы выполняется.
}}
{{Определение
$T_n = \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k e_k \in \mathcal{L}(e_1 \dots e_n) = H_n$
Теорема: $\forall x \in H : \rho(x, H_n) = \| x - \sum\limits_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle e_i \| $. TODO: найти доказательство, где-то было оно
{{Теорема
неравенство Бесселя
|statement=
$ \sum \limits_{k=1}^{\infty} (x, l_ke_k)^2 \le \|x\|^2$
|proof=
Для некоторого набора коэффициентов $ \beta_k $ рассмотрим скалярное произведение:
$ 0 \le (x - \sum \limits_{k=1}^n \beta_k l_ke_k, x - \sum \limits_{k=1}^n \beta_k l_ke_k) = \|x\|^2 - 2\sum \limits_{k=1}^n \beta_k (x, l_ke_k) + \sum \limits_{k=1}^n \beta_k^2 = $
$ = \|x\|^2 + \sum \limits_{k=1}^n (\beta_k^2 - 2(x, l_ke_k)\beta_k) = \|x\|^2 + \sum \limits_{k=1}^n (\beta_k - (x, l_ke_k))^2 - \sum \limits_{k=1}^n(x, l_ke_k)^2 $.Теперь, пусть $ \beta_k = (x, l_k) $, имеем $ 0 \le \|x\|^2 - \sum \limits_{k=1}^n (x, l_ke_k)^2 $, устремив $ n $ к бесконечности, получим требуемое.
}}
