153
правки
Изменения
→Собственно теорема
===Собственно теорема===
{{Теорема
|id=th666
|statement=
Каждое натуральное число <math>n>1</math> представляется в виде <math>n=p_1\cdot\dots\cdot p_k</math>, где <math>p_1,\dots,p_k</math> — простые числа, причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.
|proof='''Существование'''. Пусть <math>n</math> — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если <math>n</math> составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел, значит, <math>n</math> тоже является произведением простых чисел. Противоречие.\'return'
'''Единственность'''. Пусть <math>n</math> — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть <math>p</math> — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если <math>p</math> входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на <math>p</math> и получить два разных разложения числа <math>n/p</math>, что невозможно. А если <math>p</math> не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на <math>p</math>, а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.
}}
[[Категория: Классы чисел]]
