Основная теорема арифметики

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

Лемма Евклида

Лемма:
Если простое число [math]p[/math] делит без остатка произведение двух целых чисел [math]x\cdot y[/math], то [math]p[/math] делит [math]x[/math] или [math]y[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]x\cdot y[/math] делится на [math]p[/math], но [math]x[/math] не делится на [math]p[/math]. Тогда [math]x[/math] и [math]p[/math] — взаимно простые, следовательно, найдутся такие целые числа [math]u[/math] и [math]v[/math], что

[math]x\cdot u+p\cdot v=1[/math] (соотношение Безу).

Умножая обе части на [math]y[/math], получаем

[math](x\cdot y)\cdot u+p\cdot v\cdot y=y.[/math]
Оба слагаемых левой части делятся на [math]p[/math], значит, и правая часть делится на [math]p[/math], ч.т.д.
[math]\triangleleft[/math]

Основная теорема арифметики

Теорема:
Каждое натуральное число [math]n\gt 1[/math] представляется в виде [math]n=p_1\cdot\dots\cdot p_k[/math], где [math]p_1,\dots,p_k[/math] — простые числа, причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Существование. Пусть [math]n[/math] — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел, предполагая, что оно уже доказано для любого другого числа, меньшего [math]n[/math]. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если [math]n[/math] составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел (уже доказано ранее), значит, [math]n[/math] тоже является произведением простых чисел. Противоречие.

Единственность. Пусть [math]n[/math] — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть [math]p[/math] — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если [math]p[/math] входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на [math]p[/math] и получить два разных разложения числа [math]\dfrac{n}{p}[/math], что невозможно. А если [math]p[/math] не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на [math]p[/math], а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.
[math]\triangleleft[/math]