277
правок
Изменения
→Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов
=== Характеризация потенциальных векторных полей в терминах интегралов ===
{{
Теорема
|statement=
Если <tex> V : O \to \mathbb{R}^m </tex> тогда эквиваленты следующие утверждение:
1) V потенциально в <tex> O </tex>
2) Интеграл <tex> V </tex> не зависит от пути (в обл. <tex> O </tex>)
3) <tex> \forall \gamma : [a, b] \to 0, \ \gamma(a) = \gamma(b); \ \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = 0 </tex>
|proof=
<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex> — формула Ньютона-Лейбница
<tex> 2 \Rightarrow 3 </tex> — очевидно
<tex> \gamma </tex> — петля; <tex> \gamma_1(t) \equiv \gamma(a) </tex>
<tex> \int_{\gamma_1} \sum V_i dx_i = 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i </tex>
<tex> 3 \Rightarrow 2 </tex> — очевидно
<tex> \gamma := \gamma_{2-} \cdot \gamma_1; \ 0 = \int_{\gamma} \sum V_i dx_i = \int_{\gamma_{2-}} + \int_{\gamma_1} = \int_{\gamma_1} - \int_{\gamma_2} </tex>
<tex> 2 \Rightarrow 1 </tex>
Фиксируем точку <tex> x_0 \in O; \ \forall x \in O </tex>
Возьмём как-нибудь путь <tex> \gamma_x </tex> из <tex> x_0 </tex> в <tex> x </tex>
<tex> f(x) := \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i; f </tex> — потенциал?
<tex> \frac{\partial f}{\partial x_1} = V_1 </tex> (аналогично <tex> \frac{\partial f}{\partial x_i} = V_i; \ i = 2...m </tex>)
Выберем <tex> B(x, r) \subset O </tex>
<tex> |h| < r; \ t \mapsto (x_1 + th, x_2 ... x_m); \ \gamma'_h(t) = (h, 0, ..., 0) </tex>
<tex> f(x_1 + h, x_2 ... x_m) - f(x) = \int_{\gamma_h \gamma_x} \sum V_i dx_i - \int_{\gamma_x} \sum V_i dx_i = </tex>
<tex>= \int_{\gamma_h} \sum V_i dx_i = \int_0^1 V_1(x_1 + th, x_2 ... x_m)h dt = </tex> теорема о среднем <tex> = V_1(x_1 + \Theta h, x_2 ... x_m)h; \ \Theta \in [0, 1] </tex>
<tex> \frac{f(x_1 + h, ... x_m) - f(x)}{h} = V_1(x_1 + \Theta h, ...) \to V_1(x) </tex>
}}
=== Лемма о дифференцировании интеграла по параметру ===
{{Лемма
