Изменения

* <tex> f(t) </tex> возрастает при <tex> t \in (-1[0, \infty) </tex>, поэтому, если <tex> -1 0 \le t_1 < t_2 </tex>, < tex> f(t_1 ) < f(t_2 ) </tex>* <tex> \frac{f(t)}{t} = \frac{1}{1 + t}</tex> убывает при <tex>t \in [0, \infty)</tex>Покажем, что для <tex>f</tex> выполняется <tex> f(t_1 + t_2) \le f(t_1) < + f(t_2) </tex>. * <tex>f(t_1) + f(t_2) = t_1 \frac{1}{1 + t_1} + t_2 \frac{1}{1 + t_2} \ge</tex>(по убыванию <tex>\frac{1}{1 + t}</tex>)<tex>\ge t_1 \frac{1}{1 + t_1 + t_2} + t_2 \frac{1}{1 + t_1 + t_2} = \frac{t_1 + t_2}{1 + t_1 + t_2} = f(t_1 + t_2)</tex> выпукла вверх на том же промежутке. Так как <tex> |x - z| \le |x - y| + |y - z| </tex> по свойствам <tex> | \cdot | </tex> и <tex>f</tex> возрастает, то <tex> f(|x - z|) \le f(|x - y| + |y - z|)</tex>. Из свойств [[Модуль_непрерывности_функции | модуля непрерывности]] имеем Так как знаем, что <tex>f(t_1 + t_2) \le f(t_1) + f(t_2)</tex>, тогда получаем <tex>f(|x - y| + |y - z|) \le f(|x - y|) + f(|y - z|) </tex>, то есть получили <tex>f(|x - z|) \le f(|x - y|) + f(|y - z|)</tex>.