1302
правки
Изменения
м
Нет описания правки
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>A \in X</tex> и <tex>\varepsilon > 0</tex>, и <tex>A_{\varepsilon} = \bigcup\limits_{|\lambda| \leq \varepsilon} \lambda A</tex> Тогда <tex>A_\varepsilon</tex> - — уравновешенное.
|proof=
Пусть <tex>|\mu| < 1</tex>, проверим, что <tex>\mu A_{\varepsilon} \subset A_{\varepsilon}</tex>:
Тогда <tex>x \in (\mu \lambda) A, |\mu \lambda| \leq \varepsilon</tex> и <tex>x \in A_{\varepsilon}</tex>, что и требовалось доказать.
}}
== Теорема о характеристике векторной топологии ==
{{Теорема
Непрерывность умножения: пусть <tex> \lambda \to \lambda_0, x \to x_0 </tex>, покажем что <tex> \lambda x \to \lambda_0 x_0 </tex>. Пусть <tex> \lambda = \lambda_0 + \alpha, \alpha \to 0 </tex>, <tex> x = x_0 + u, u \to 0 </tex>. Тогда <tex> \lambda x = (\lambda_0 + \alpha) (x_0 + u) = \lambda_0 x_0 + (\lambda_0 u + \alpha x_0 + \alpha u) </tex>. Покажем, что вторая скобка стремится к нулю.<br/>
1) <tex>\alpha x_0</tex> из радиальной окрестности нуля, значит стремится к нулю.<br/>
2) <tex>\alpha \to 0 \implies |\alpha| \le 1,</tex>по условию теоремы<tex> \exists U(0)</tex> - — уравновешенное <tex> \implies \alpha U(0) \subset U(0) \implies \alpha u \to 0 </tex>.<br/>3) по условию теоремы <tex>\forall U(0) \exists U_1 (0) : U_1(0)+U_1(0) \subset U(0) \implies 2U_1(0) \subset U(0)</tex>. Раз <tex>U_1(0)</tex> {{---}} — окрестность 0 <tex> \implies \exists 2U_2(0) \subset U_1(0) ... \implies 2^n U_n(0) \subset ... \subset 2 U_1 (0) \subset U(0)</tex>
<tex> \implies \exists n_1 : | {\lambda_0 \over 2^{n_1}} | < 1 \implies </tex> если <tex>u \in U_{n_1}(0), 2^{n_1} U_{n_1}(0) \subset U \implies 2^{n_1} u \in U(0) \implies {\lambda_0 \over 2^{n_1}} 2^{n_1} u \in U(0) \implies \lambda_0 u \in U \implies \lambda_0 u \to 0</tex>.
