Компактный оператор — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(определение)
 
м (пример ...)
Строка 11: Строка 11:
 
=== Пример ===
 
=== Пример ===
  
Рассмотрим пространство <tex> C[0,1] </tex>. Пусти <tex> K(u, v) </tex> — непрерывно на  <tex> [0,1]\times[0,1] </tex>.
+
Рассмотрим пространство <tex> C[0,1] </tex>.
 +
Пусть <tex> K(u, v) </tex> — непрерывно на  <tex> [0,1]\times[0,1] </tex> и ограничено <tex> | K(t,s) | \leq M </tex>.
 +
 
 +
<tex> A(x,t) = \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds </tex>, где <tex> x(s) \in C[0,1] </tex>.
 +
 
 +
<tex> A(x,t) \in C[0,1] </tex>

Версия 21:41, 19 апреля 2013


Определение:
Линейный ограниченный оператор [math] A : X \to Y [/math] называется компактным,

если любое ограниченное множество в [math] X [/math] [math] A [/math] переводит в относительно компактное множество в [math] Y [/math].

TODO: определение относительно компактного множества


Из определения ясно, что мы получаем усиление ограниченности, так как любое относительно компактное множество — ограничено.

Пример

Рассмотрим пространство [math] C[0,1] [/math]. Пусть [math] K(u, v) [/math] — непрерывно на [math] [0,1]\times[0,1] [/math] и ограничено [math] | K(t,s) | \leq M [/math].

[math] A(x,t) = \int\limits_0^1 K(t,s) x(s) ds [/math], где [math] x(s) \in C[0,1] [/math].

[math] A(x,t) \in C[0,1] [/math]