Изменения
Нет описания правки
Далее будем считать <tex>\lambda = 1</tex>. <tex>T = I - A,~Ker~T = \{x|x - Ax = 0\} = \{x|x=Ax\}</tex>, таким образом, ядро T — неподвижные точки A.
<tex>\overline V</tex> — единичный шар, <tex>Y = Ker~T</tex> — подпространство X. <tex>dim~Ker~T = + \infty,~\overline W = \overline V \cap Y \Rightarrow \overline W = A \overline W</tex>. Но так как A — компактный, <tex>\overline W</tex> — компакт в Y, но в бесконечномерном пространстве шар не может быть компактом, получаем противоречие. Значит, если A — компактный, то <tex>dim~Ker(I-A) < + \infty</tex>.
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>T = I - A</tex>, A компактен <tex>\Rightarrow R(T) = Cl R(T)</tex>
|proof=Ранее (пятый семестр же?) мы доказали, что если уравнение <tex>Tx=y, y \in R(T)</tex> допускает априорную оценку (<tex>\exists \alpha~\exists x~Tx=y, \|x\|<=a\|y\|</tex>), то R(T) замкнуто. Нужно доказать, что у T есть априорная оценка.
<tex>y \in R(T), Tx=y, \forall z \in Ker~T \Rightarrow T(x+z) = y</tex>. Значит, все решения уравнения <tex>Tx=y</tex> записываются в форме <tex>x=x_0+z</tex>, где <tex>x_0</tex> — одно из решений, z принадлежит <tex>Ker~T</tex>. Но <tex>dim~Ker~T < + \infty \Rightarrow Ker~T = L \{ e_1, \ldots e_n \} \Rightarrow x = x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k, \alpha_k \in \mathbb{R}</tex>
<tex>f(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) = \|x_0 + \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k</tex> *Из конспекта немного непонятно, почему {{TODO| t=доказать}}* Эта функция непрерывна <tex>\Rightarrow \exists \alpha^*_1, \alpha^*_2, \ldots, \alpha^*_n : f (\overline {\alpha}^*) = \inf\limits_{\alpha} f(\alpha)</tex>
<tex>y \in R(T)</tex>, среди всех решений уравнения <tex>Tx=y</tex> существует решение с минимальной нормой. Его назовём <tex>\widehat x</tex>, и далее докажем, что эти решения допускают априорную оценку через y.
}}
