Умножение по Монтгомери

Алгоритм Монтгомери — приём, позволяющий ускорить выполнение операций умножения и возведения в квадрат, необходимых при возведение числа в степень по модулю, когда модуль велик (порядка сотен бит). Был предложен в 1985 году Питером Монтгомери.

По данным целым числам a, b < n, r, НОД[math](r,n)=1[/math] алгоритм Монтгомери вычисляет

[math]MonPro(a,b) = a \cdot b \cdot r^{-1} \mod{n}[/math]

Умножение Монтгомери

Положим [math]r=2^k[/math].

Определим n-остаток (n-residue) числа [math]a \lt n[/math] как [math]\bar{a} = a \cdot r \mod{n}[/math].

Алгоритм Монтгомери использует свойство, что множество [math]\{ a \cdot r \mod{n} \mid 0 \leqslant a \leqslant n-1 \}[/math] является полной системой вычетов, то есть содержит все числа от 0 до n-1.

MonPro вычисляет [math]\bar{c} = \bar{a} \cdot \bar{b} \cdot r^{-1} \mod{n}[/math]. Результат является n-остатком от [math]c = a \cdot b \mod{n}[/math], так как

[math]\bar{c} = \bar{a} \cdot \bar{b} \cdot r^{-1} \mod{n} = a \cdot r \cdot b \cdot r \cdot r^{-1} \mod{n} = c \cdot r \mod{n}[/math]

Определим n' так, что [math]r \cdot r^{-1} - n \cdot n' = 1[/math]. [math]r^{-1}[/math] и [math]n'[/math] можно вычислить с помощью расширенного алгоритма Евклида.

Функция [math]MonPro(\bar{a},\bar{b})[/math]

1. [math]t = \bar{a} \cdot \bar{b}[/math]
2. [math]u = (t + (t \cdot n' \mod{r} ) \cdot n ) / r[/math]
3. if [math]u \gt  n[/math] then return [math]u-n[/math] else return [math]u[/math]

Операции умножения и деления на r выполняются очень быстро, так как при [math]r=2^{k}[/math] представляют собой просто сдвиги бит. Таким образом алгоритм Монтгомери быстрее обычного вычисления [math]a \cdot b \mod{n}[/math], которое содержит деление на n. Однако вычисление n' и перевод чисел в n-остатки и обратно — трудоёмкие операции, вследствие чего применять алгоритм Монтгомери при вычислении произведения двух чисел представляется неразумным.

Возведение в степень Монтгомери

Использование алгоритма Монтгомери оправдывает себя при возведении числа в степень по модулю [math]a^{e} \mod{n}[/math].

Функция [math]ModExp(a,e,n)[/math]

1. [math]\bar{a} = a \cdot r \mod{n}[/math]
2. [math]\bar{x} = 1 \cdot r \mod{n}[/math]
3. for i=j-1 downto 0
     [math]\bar{x} = MonPro(\bar{x},\bar{x})[/math]
     if [math]e_{i}=1[/math] then [math]\bar{x}=MonPro(\bar{x},\bar{a})[/math]
4. return [math]x = MonPro(\bar{x},1)[/math]

Возведение числа в степень битовой длины k алгоритмом быстрого возведения в степень включает в себя от k до 2k умножений, где k имеет порядок сотен или тысяч бит. При использовании алгоритма возведения в степень Монтгомери объём дополнительных вычислений фиксирован (вычисления [math]n'[/math], [math]\bar{a}[/math], [math]\bar{x}[/math] в начале и [math]MonPro(\bar{x},1)[/math] в конце), а операция MonPro выполняется быстрее обычного умножения по модулю, поэтому алгоритм возведения в степень Монтгомери даст выигрыш в производительности по сравнению с алгоритмом быстрого возведения в степень.