355
правок
Изменения
→Время работы
|id=closestlemma
|proof=
{{TODO|t=Картинку}}
Предположим, что это не так.
Пусть некоторая точка <tex>u</tex> является ближайшей для семи точек. Соединим эти семь точек с точкой <tex>u</tex> отрезками и рассмотрим минимальный из углов, который образуют проведённые отрезки <tex>vu</tex> и <tex>wu</tex>. Этот угол <tex>\alpha</tex> меньше 60° (иначе все семь углов больше либо равны 60° и их сумма больше 360°), поэтому <tex>\cos \alpha > \frac 1 2</tex>. Обозначим за <tex>a</tex> меньший из отрезков <tex>wu</tex> и <tex>vu</tex>, за <tex>b</tex> — больший, а за <tex>c</tex> — отрезок <tex>vw</tex>. Тогда по теореме косинусов: <tex>c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cos\alpha = a^2(1+(\frac {b} {TODO|t=Proofa})^2 - 2 \cdot \frac {b}{a}\cos \alpha) < a^2</tex> Значит, <tex>c < a</tex>, но так как точка <tex>u</tex> — ближайшая, то должно быть наоборот. Противоречие. Значит, предположение неверно.
}}
{{Лемма
