|id = Th1
|about =
о близких запросах в сплей-деревеПоша
|statement = Пусть в сплей-дерево сложены ключи граф <tex> 1, \dotsc, n </tex>, зафиксируем один из ключей <tex> f G </tex>, пусть выполняется имеет <tex> m </tex> запросов к ключам. Тогда суммарное время на запросы есть <tex> \displaystyle O(n \log_{2} n + m + \sum_{i=1}^{m} \log_2 ( \lvert q_{i} - f \rvert + 1)) </tex>, где <tex> q_{i} </tex> {{---}} <tex> i geqslant 3</tex>-й запросвершин.
|proof = *Если для всякого <tex>k,\, 1 \leqslant k < (n-1)/2</tex>, число вершин со степенями, не превосходящими <tex>k</tex>, меньше чем <tex>k</tex>, и *Если для нечетного <tex>n</tex> число вершин степени <tex>(n-1)/2</tex> не превосходит <tex>(n-1)/2</tex>,
Для доказательства теоремы воспользуемся методом потенциалов: то <tex> G </tex> {{---}} [[Гамильтоновы графы|гамильтонов]] граф.
|proof = Предположим, что теорема неверна. Пусть <tex> G </tex> a_{i} = t_{i} + \Phi_{i} - \Phi_{i-1-}} максимальный негамильтонов граф с <tex> n </tex> вершинами, удовлетворяющий условиям теоремы.
По условию выполняется Легко видеть, что добавление любого ребра в граф, обладающий указанными свойствами, приводит к графу, который также обладает этими свойствами. Таким образом, поскольку добавление к <tex> m G </tex> запросовпроизвольного ребра приводит к гамильтонову ребру, следовательнолюбые две несмежные вершины соединимы простой остовной цепью.
Покажем сначала, что всякая вершина, степень которой не меньше <tex> T = (n-1)/2 </tex>, смежна с каждой вершиной со степенью, большей чем <tex> (n-1)/2 </tex>. Не умаляя общности, допустим, что <tex> \deg v_{1} \displaystyle geqslant (n-1)/2 </tex> и <tex> \sum_deg v_{n} \geqslant n/2 </tex>, но вершины <tex> v_{i=1}^</tex> и <tex> v_{n} </tex> не смежны. Тогда существует простая остовная цепь <tex> v_{m1} t_v_{i2} = \sum_dotsc v_{n} </tex>, соединяющая <tex> v_{i=1}^</tex> и <tex> v_{mn} \left(a_</tex>. Обозначим вершины, смежные с <tex> v_{1} </tex>, через <tex> v_{{i} + \Phi__{i-1} - }, \Phi_dotsc,v_{{i} \right) _{k}} </tex>, где <tex> k = \sum_deg v_{i=1}^</tex> и <tex> 2=i_{m1} a_< i_{i2} + < \Phi_dotsc < i_{0k} </tex>. [[Файл: Graph- \Phi_Posha.png|380px|thumb|right|]] Ясно, что вершина <tex> v_{mn} = \sum_</tex> не может быть смежной ни с одной вершиной из <tex> G </tex> вида <tex> v_{{i=1}^_{mj-1} a_{i} + \Delta \Phi </tex> , поскольку тогда в <tex> G </tex> был бы гамильтонов цикл <tex> (v_{1} v_{2} \dotsc v_{{i}_{j-1}} v_{n} v_{n-1} \ast) dotsc v_{{i}_{j}} v_{1} </tex>.
Для удобства введем обозначения:Далее, так как <tex> k \geqslant (n-1)/2 </tex>, то <tex> n/2 \leqslant \deg v_{n} \leqslant n-1-k < n/2 </tex>, что невозможно. Поэтому <tex> v_{1} </tex> и <tex> v_{n} </tex> должны быть смежны.
# Весом узла с ключом Отсюда следует, что если <tex> q \deg v \geqslant n/2 </tex> для всех вершин <tex> v </tex> будем называть величину , то <tex> G </tex> w(q) =\displaystyle \frac {1{---}}гамильтонов граф. В силу изложенного выше каждая пара вершин графа <tex> G </tex> смежна, т.е. <tex> G </tex> {{\left(\lvert q - f \rvert + 1 \right )^--}} полный граф. Мы пришли к противоречию, поскольку <tex> K_{n} </tex> {{2---}} гамильтонов граф для всех <tex> n \geqslant 3 </tex>.
# Размером узлаТаким образом, содержащего ключ в <tex> G </tex> есть вершина <tex> q v </tex> с <tex> \deg v < n/2 </tex>. Обозначим через <tex> m </tex> наибольшую среди степеней всех таких вершин. Выберем такую вершину <tex> v_{1} </tex>, будем называть величину что <tex> s(q) \deg v_{1} = m </tex>. По принятому предположению число вершин со степенями, не превосходящими <tex> m </tex>, не больше чем <tex> m < n/2 </tex>, поэтому должно быть более чем <tex> m </tex> вершин со степенями, превосходящими <tex> m </tex>, и, следовательно, не меньшими чем <tex> n/2 </tex>. В результате найдется некоторая вершина, скажем <tex> v_{n} </tex>, степени по крайней мере <tex> n/2 </tex>, не смежная с <tex> v_{1} </tex>. Так как <tex> v_{1} </tex> и <tex> v_{n} </tex> не смежны, то существует остовная простая цепь <tex> v_{1} \dotsc v_{n} </tex>. Как и выше, обозначим через <tex> v_{{i}_{1}}, \dotsc, v_{{i}_{m}} </tex> вершины графа <tex> G </tex>, смежные с <tex> v_{1} </tex>, и заметим, что вершина <tex> v_{n} </tex> не может быть смежной ни с одной из <tex> m </tex> вершин <tex> v_{{i}_{j-1}} </tex> для <tex> 1 \displaystyle leqslant j \sum_leqslant m </tex>. Но поскольку <tex> v_{y1} w</tex> и <tex> v_{n} </tex> не смежны, а <tex> v_{n} </tex> имеет степень не меньше <tex> n/2 </tex>, то, как было показано в первой части доказательства, <tex> m </tex> должно быть меньше чем <tex> (yn-1) /2 </tex>. Так как по предположению число вершин со степенями, где не превосходящими <tex> y m </tex> , меньше чем <tex> m </tex>, то хотя бы одна из <tex> m </tex> вершин <tex> v_{{i}_{j---1}} узлы поддерева с корнем в </tex>, скажем <tex> v' </tex>, должна иметь степень не меньше <tex> n/2 </tex>. Итак, мы установили, что степени двух несмежных вершин <tex> v_{n} </tex> и <tex> v' </tex> не меньше <tex> q n/2 </tex>.Полученное противоречие завершает доказательство теоремы. }}
# <tex> r(q) = \log_{2}s(q) </tex> {{---}} ранг узла.'''Замечания'''
# Потенциал дерева обозначим *Приведенное достаточное условие не является необходимым.*Условия теоремы нельзя улучшить, так как <tex> \Phi = \displaystyle \sum_{q=1}^{n} r(q) = \displaystyle \sum_{q=1}^{n} \log_{2}s(q) </tex>при их ослаблении новое условие уже не будет достаточным для гамильтоновости графа.
Пусть <tex> W </tex> {{---}} вес дерева. Тогда <tex> W = \displaystyle \sum_{q=1}^{n} w(q) = \sum_{q=1}^{n} \frac {1}{\left(\lvert q - f \rvert + 1 \right)^{2}} \leqslant 2 \cdot \sum_{q=1}^{+\infty} \frac {1}{ \left ( \lvert q - f \rvert + 1 \right)^{2}} = O(1) </tex>.Ограничивая условия теоремы Поша, получаем более простые, но менее сильные достаточные условия, найденные Оре и Дираком соответственно:
Из определения размера узла следует, что {{Теорема|id = Th2|about = Следствие 1|statement = Если <tex> n \geqslant 3 </tex> и <tex> w(q) \leqslant s(q) deg u + \deg v \leqslant W geqslant n </tex> для любой пары <tex> u </tex> и <tex> v </tex> несмежных вершин графа <tex> G </tex>, то <tex> G </tex>{{---}} гамильтонов граф.}}
Также заметим, что для любого {{Теорема|id = Th3|about = Следствие 2|statement = Если <tex> n > 3 </tex> и <tex> q \deg v \geqslant n/2 </tex> от для любой вершины <tex> 1 v </tex> до графа <tex> n G </tex> верно , то <tex> G </tex> w(q) \geqslant \displaystyle \frac {1}{n^{2---}} </tex>гамильтонов граф.}}
Тогда изменение потенциала <tex> \Delta\Phi \leqslant \displaystyle \sum_{q=1}^{n} \log_{2} W - \sum_{q=1}^{n} \log_{2}w(q) Источники= \sum_{q=1}^{n} \log_{2} \frac {W}{w(q)} = O \Biggl(\sum_{q=1}^{n} \log_{2} n^{2}\Biggr) = <*Харари Ф. Теория графов: Пер. с англ. /tex> <tex> \displaystyle O\Biggl(2 \cdot\sum_{q=1}^{n} \log_{2} n\Biggr) = O\left(n \log_{2}n\right) </tex>Предисл. В. П. Козырева; Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. Обозначим за <tex> t </tex> корень сплей4-деревае. — М. Тогда: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", воспользовавшись вышеуказанной леммой, получаем, что <tex> \displaystyle a_{i} = 3 \cdot \left( r(t) - r(q_{i}) \right) + 1 = O\left(\log_{2} \frac{s(t)}{s\left(q_{i}\right)}\right) + 1 = O\left(\log_{2} \frac{W}{w(q_{i})}\right) + 1 = </tex> <tex> O\left(\log_{2} \left(W \cdot \left(\lvert q - f \rvert + 1 \right)^{2} \right ) \right ) + 1 = O\left(\log_{2} \left(\lvert q - f \rvert + 1 \right) \right ) + 1 </tex> Тогда, подставляя найденные значения в формулу <tex> (\ast) </tex>, получаем, что <tex>T=\displaystyle \sum_{i=1}^{m} \left ( O \left( \log_{2} \left ( \lvert q_{i} - f \rvert + 1 \right) \right) + 1 \right ) + O\left ( n \log_{2} n \right) = </tex> <tex> \displaystyle O \left (n \log_{2} n + m + \displaystyle \sum_{i=1}^{m} \log_2 \left( \lvert q_{i} - f \rvert + 1 \right) \right)</tex> }}2009. — 60 с.
