Изменения

<b>'''Остаточной пропускной способностью</b> ''' (англ. ''residual capacity'') ребра <tex>(u, v)</tex> называется величина дополнительного [[Определение сети, потока#flow|потока]], который мы можем направить из <tex> u </tex> в <tex> v </tex>, не превысив [[Определение сети, потока#flow|пропускную способность ]] <tex> c(u, v) </tex>. Иными словами <tex> c_f(u, v) = c(u, v) - f(u, v) </tex>.

Для заданной [[Определение сети, потока#flow_network|транспортной сети ]] <tex>G=(V,E)</tex> и потока <tex>f</tex>, <b>дополняющей '''остаточной сетью</b> ''', ('''дополняющая сеть''', англ. ''residual network'') в <tex>G</tex>, порожденной потоком <tex>f</tex>, является сеть <tex>G_f=(V,E_f)</tex>, где <tex>E_f=\{(u,v) \in V\times V : \mid c_f(u, v) > 0\}</tex>

Для заданных заданной транспортной сети <tex>G=(V,E)</tex> и потока <tex>f</tex> <b>'''дополняющим путем</b> ''' (англ. ''augmenting path'') <tex>p</tex> является простой путь из [[Определение сети, потока#flow_network| истока в сток ]] в остаточной сети <tex>G_f=(V,E_f)</tex>.

{|border="0" cellpadding=Лемма о сложении потоков"5" width=30% align={{Леммаcenter|statement=Пусть <tex> G = (V, E) </tex> - транспортная сеть с источником <tex>s</tex> и стоком <tex>t</tex>, а <tex>f</tex> [[Файл:Flow- поток в <tex>G</tex>network. Пусть <tex>G_f</tex> - остаточная сеть в <tex>G</tex>, порожденная потоком <tex>f</tex>, а <tex>f'</tex> - поток в <tex>G_f</tex>. Тогда сумма потоков <tex>f + f'</tex>, определяемая уравнением <tex>(f + f')(u, v) = f(u,v) + f'(u,v)</tex>, является потоком в <tex>G</tex>, и величина этого потока равна <tex>png|f + f'thumb| = 340px|fcenter| + |f'|</tex>.Граф с некоторым потоком]]|proof=Необходимо проверить, выполняются ли ограничения антисимметричности, пропускной способности и сохранения потока. <br> 1) Для подтверждения антисимметричности заметим, что для всех <tex>(u,v) \in V</tex>, справедливо[[Файл: <br> <br> <tex> (f + f')(u, v) = f(u,v) + f'(u,v) = -f(v,u) - f'(v,u) = -(f(v,u) + f'(v,u)) = -(f + f')(v,u)</tex>.<br> <br>2) Покажем соблюдение ограничений пропускной способности. Заметим, что <tex>f'(u,v) \le c_f(u,v)</tex> для всех <tex>u,v \in V </tex> и <tex> c_f(u, v) = c(u, v) - f(u, v) </tex>. Тогда <br> <br><tex>(f + f')(u,v) = f(u,v) + f'(u,v) \le f(u,v) + (c(u,v) Residual- f(u,v)) = c(u,v) </tex>network. <br> <br>3) Заметим, что для всех <tex>u \in V - \{s,t\}</tex> справедливо равенство <br> <br><tex> \sum\limits_{v\in V} (f + f')(u, v) = \sum\limits_{v\in V} (f(u,v) + f'(u,v)) = \sum\limits_{v\in V} f(u,v) + \sum\limits_{v\in V} f'(u,v) = 0 + 0 = 0</tex> <br> <br><tex> png|f + f'thumb| = \sum\limits_{v\in V} (f + f')(s, v) = \sum\limits_{v\in V} (f(s,v) + f'(s,v)) = \sum\limits_{v\in V} f(s,v) + \sum\limits_{v\in V} f'(s,v) = 340px|fcenter| + Остаточная сеть этого графа]]|f'|</tex>}