Детерминированные автоматы с магазинной памятью, допуск по пустому стеку

Определение:

Определим детерминированный автомат с магазинной памятью, допускающий по пустому стеку (англ. PDA accepting by empty stack), как детерминированный автомат с магазинной памятью, у которого нет множества [math]T[/math] допускающих состояний. Автомат заканчивает свою работу как только стек становится пустым.

Определим для него множество допускающих слов [math]N = \{\omega \mid (q_0,a_0,Z_0)\vdash^* (p,\epsilon,\epsilon)\}[/math], где [math]p[/math] — произвольное состояние.

Определение:

Язык называется беспрефиксным (англ. prefix-free), если для любой пары слов из этого языка ни одно из этих слов не является префиксом другого.

Теорема:

Язык [math]L[/math] допускается ДМП-автоматом, допускающему по пустому стеку тогда и только тогда, когда язык [math]L[/math] допускается ДМП-автоматом, допускающему по допускающему состоянию и [math]L[/math] — беспрефиксный.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\Rightarrow[/math] Допустим, что [math]L[/math] не беспрефиксный. Тогда [math]\exists \omega_1, \omega_2 \in L : \omega_2 = \omega_1 \alpha[/math]. Попробуем допустить слово [math]\omega_2[/math]. Тогда автомат остановится сразу после префикса [math]\omega_1[/math], т.к. [math]\omega_1 \in L[/math]. Стек будет пустой, однако до конца слова [math]\omega_2[/math] мы не дойдем, поэтому оно не допустится, хотя содержится в [math]L[/math]. Получили противоречие, значит [math]L[/math] — беспрефиксный. Построим по заданному ДМП-автомату с допуском по пустому стеку ДМП с допуском по допускающему состоянию. [math]\Leftarrow[/math] Пусть задан ДМП-автомат с допуском по допускающему состоянию, язык [math]L[/math] — беспрефиксный. Если автомат в какой-то момент пришел в допускающее состояние, то дальше идти смысла нет, т.к. тогда бы слово, допускаемое этим состоянием было бы префиксом некоторого другого слова. Значит можем удалить все переходы из допускающих состояний и добавить переходы в очистку стека.

[math]\triangleleft[/math]

Источники информации

• Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д. — Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. — Москва, Издательский дом «Вильямс», 2008. : ISBN 978-5-8459-1347-0 (рус.)