Покрытие рёбер графа путями

Следующее утверждение являются следствием из критерия Эйлеровости графа:

Теорема:

Пусть [math]G[/math] — граф, в котором [math]2N[/math] вершин имеют нечетную степень. Тогда множество ребер [math]G[/math] можно покрыть [math]N[/math] реберно-простыми путями.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Необходимость Докажем, что [math]G[/math] можно покрыть [math]N[/math] реберно-простыми путями. Добавим [math] N [/math] ребер [math]uv[/math] таких, что степени вершин [math]u[/math] и [math]v[/math] нечетные. Тогда степени всех вершин станут четными, и в [math]G[/math] появится Эйлеров цикл [math]c[/math] (критерием Эйлеровости графа является отсутствие нечетных вершин в связном мультиграфе). Удалим из [math]c[/math] добавленные ребра. Заметим, что теперь цикл распадается на [math] N [/math] простых путей. В самом деле: возьмем Эйлеров цикл и удалим из него [math]N[/math] ребер. Теперь полученный граф можно разбить на [math]N[/math] (или меньше) цепей между этими удаленными ребрами. Достаточность Докажем, что [math]G[/math] нельзя покрыть менее, чем [math]N[/math] реберно-простыми путями. Предположим, что такое возможно, и существует набор реберно-простых путей [math]p_1, p_2, ... p_k, k \lt N[/math], такой что он покрывает все ребра [math]G[/math]. Пусть [math]i-[/math]й путь из этого набора имеет вид [math] w_i = u_{i_0}e_{i_1}u_{i_1}...u_{i_m}[/math]. Добавим в [math]G[/math] все ребра вида [math]u_{i_m}u_{{i+1}_0}[/math] (соединяют конец предыдущей и начало следующей цепи) и ребро [math]u_{k_m}u_{1_0}[/math] (соединяет конец последней и начало первой цепей). В новом графе появится Эйлеров цикл, т.к. мы добавили ребра, соединяющие конец и начало [math] i [/math] и [math] i + 1 [/math] пути соответственно. Всего добавлено [math]k[/math] ребер, которые меняют четность не более, чем [math]2k[/math] вершин. Т.к. [math]k \lt N[/math], то в графе останутся вершины нечетной степени, что не удовлетворяет критерию Эйлеровости графа. Противоречие. Значит, такого набора, что его мощность меньше [math]N[/math], не существует.

[math]\triangleleft[/math]

См. также

• Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфов

Источники информации

• Харари Фрэнк Теория графов = Graph theory/Пер. с англ. и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 296 с. — ISBN 5-354-00301-6