Представление производящей функций в виде непрерывных дробей — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{{Определение |definition= '''Непрерывная дробь''' (англ. ''continued fraction'') — формула вида <tex>a_n=f(n, a_{n-1…»)
 
(sta)
Строка 1: Строка 1:
 +
==Определения==
 
{{Определение  
 
{{Определение  
−
|definition=
+
|definition='''Непрерывная дробь''' (англ. ''continued fraction'') — это бесконечное математическое выражение вида
−
'''Непрерывная дробь''' (англ. ''continued fraction'') — формула вида <tex>a_n=f(n, a_{n-1}, a_{n-2}, \dots, a_{n-p} ) </tex>, выражающая каждый следующий член последовательности <tex>a_n</tex> через <tex>p</tex> предыдущих членов и номер члена последовательности <tex>n</tex>, вместе с заданными первыми p членами, где  <tex>p</tex> — порядок рекуррентного соотношения.
+
<tex>a_0+\cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\ldots}}}\;</tex>
−
}}
+
где <tex>a_{0}</tex> и <tex>b_n</tex> есть целые числа, а <tex>a_n</tex> — натуральные числа (положительные целые).}}
 +
{{Определение
 +
|definition='''Конечная непрерывная дробь''' (англ. ''finite continued fraction'')  — это непрерывная дробь, которая состоит из конечного набора <tex>\langle a_0, a_1, a_2, a_3,\ldots, a_n \rangle</tex> и <tex>\langle b_0, b_1, b_2, b_3,\ldots, b_n \rangle.</tex>}}
 +
Любая конечная дробь представима в виде некоторой рациональной дроби <tex>\cfrac{P_n}{Q_n}</tex>, которую называют '''n-ой подходящей дробью'''.
  
−
==EEEE==
+
==Свойства==
 +
Всякий многочлен или дробно-рациональная функция может быть разложена в непрерывную дробь[20]:
 +
<br><tex>\cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2 x}{a_2+\cfrac{b_3 x}{a_3+\ldots}}}\;</tex><br>
 +
Например для функции <tex>f(x)=\displaystyle\frac{1-x}{1-5x+6x^2}</tex>:<br>
 +
<tex>f(x)=\cfrac{1}{1-\cfrac{4 x}{1-\cfrac{2 x}{-4+6x}}}\;</tex>
  
−
==EEEE==
+
При чем рациональная функция раскладывается в конечную непрерывную дробь. Следовательно дробно-рациональная производящая функция всегда раскладывается в конечную непрерывную дробь.
  
−
==EEEE==
+
==Функция Каталана в виде непрерывной дроби==

Версия 01:51, 18 апреля 2018

Определения

Определение:
Непрерывная дробь (англ. continued fraction) — это бесконечное математическое выражение вида

[math]a_0+\cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\ldots}}}\;[/math]

где [math]a_{0}[/math] и [math]b_n[/math] есть целые числа, а [math]a_n[/math] — натуральные числа (положительные целые).


Определение:
Конечная непрерывная дробь (англ. finite continued fraction) — это непрерывная дробь, которая состоит из конечного набора [math]\langle a_0, a_1, a_2, a_3,\ldots, a_n \rangle[/math] и [math]\langle b_0, b_1, b_2, b_3,\ldots, b_n \rangle.[/math]

Любая конечная дробь представима в виде некоторой рациональной дроби [math]\cfrac{P_n}{Q_n}[/math], которую называют n-ой подходящей дробью.

Свойства

Всякий многочлен или дробно-рациональная функция может быть разложена в непрерывную дробь[20]:
[math]\cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2 x}{a_2+\cfrac{b_3 x}{a_3+\ldots}}}\;[/math]
Например для функции [math]f(x)=\displaystyle\frac{1-x}{1-5x+6x^2}[/math]:
[math]f(x)=\cfrac{1}{1-\cfrac{4 x}{1-\cfrac{2 x}{-4+6x}}}\;[/math]

При чем рациональная функция раскладывается в конечную непрерывную дробь. Следовательно дробно-рациональная производящая функция всегда раскладывается в конечную непрерывную дробь.

Функция Каталана в виде непрерывной дроби

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Представление_производящей_функций_в_виде_непрерывных_дробей&oldid=65007»