302
правки
Изменения
→Разложение дробно-рациональной производящей функции
|proof = Если
\; <tex>f(x) = \cfrac{c_{10}+c_{11}x+c_{12}x^2+\cdots}{c_{00}+c_{01}x+c_{02}x^2+\cdots},</tex>
то в общем случае, проведя преобразования, будем иметь:
\; <tex>f(x) = \cfrac{1}{\cfrac{c_{00}}{c_{10}}+\cfrac{c_{00}+c_{01}x+c_{02}x^2+\cdots}{c_{10}+c_{11}x+c_{12}x^2+\cdots}-\cfrac{c_{00}}{c_{10}}} = \cfrac{c_{10}}{c_{00}+xf_1(x)},</tex>
где
\; <tex>f_1(x) = \cfrac{c_{20}+c_{21}x+c_{22}x^2+\cdots}{c_{10}+c_{11}x+c_{12}x^2+\cdots}</tex>
и
\; <tex>c_{2k} = c_{10} \cdot c_{0,\: k+1} - c_{00} \cdot c_{1,\: k+1} \; (k=0,1, \cdots).</tex>
Аналогично
#:<tex>f_1(x) = \cfrac{c_{20}}{c_{10}+xf_2(x)},</tex>
где
#:<tex>f_1(x) = \cfrac{c_{30}+c_{31}x+c_{32}x^2+\cdots}{c_{20}+c_{21}x+c_{22}x^2+\cdots}</tex>
и
#:<tex>c_{3k} = c_{20} \cdot c_{1,\: k+1} - c_{10} \cdot c_{2,\: k+1} \; (k=0,1, \cdots)</tex>
и так далее. Таким Образом
#:<tex>f(x) = \cfrac{c_{10}}{c_{00}+\cfrac{c_{20}x}{c_{10}+\cfrac{c_{30}}{c_{20}+\ldots}}} = \biggl[ 0;\cfrac{c_{10}}{c_{00}},\cfrac{c_{20}x}{c_{10}},\cfrac{c_{30}x}{c_{20}}, \cdots , \cfrac{c_{n0}x}{c_{n-1, \: 0}} \biggr], </tex>
При чем легко убедиться, что непрерывная дробь получится конечной. }} #Любая конечная дробь представима в виде некоторой рациональной дроби <tex>\cfrac{P_n}{Q_n}</tex>, которую называют '''n-ой подходящей дробью'''.#Всякий многочлен или дробно-рациональная функция может быть разложена в непрерывную дробь.#:Например для функции <tex>f(x)=\displaystyle\frac{1-x}{1-5x+6x^2}</tex>:#:#:<tex>f(x)=\cfrac{1}{1-\cfrac{4 x}{1-\cfrac{2 x}{-4+6x}}}\;</tex>#:#Рациональная функция раскладывается в конечную непрерывную дробь.
==Функция Каталана в виде непрерывной дроби==
