Представление производящей функций в виде непрерывных дробей

Определения

Определение:

Непрерывная дробь (англ. continued fraction) — это конечное или бесконечное математическое выражение вида [math]a_0+\cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\ldots}}} = \biggl[ a_0;\cfrac{b_1}{a_1},\cfrac{b_2}{a_2},\cfrac{b_3}{a_3}, \cdots \biggr]\;[/math] где [math]a_{0}[/math] и [math]b_n[/math] есть целые числа, а [math]a_n[/math] — натуральные числа (положительные целые).

Если [math]b_i = 1[/math] для всех [math]i[/math], выражение называется простой непрерывной дробью (англ. regular continued fraction).

В некоторой литературе вместо термина «непрерывная дробь» используют термин «цепная дробь».

Определение:

Конечная непрерывная дробь (англ. finite continued fraction) — это непрерывная дробь, которая состоит из конечных наборов [math]\langle a_0, a_1, a_2, a_3,\ldots, a_n \rangle[/math] и [math]\langle b_1, b_2, b_3,\ldots, b_n \rangle.[/math]

Определение:

K-подходящей дробью (англ. finite continued fraction) непрерывной дроби [math] \biggl[ a_0;\cfrac{b_k}{a_k} \biggr]^{n}_{1} [/math] называют обыкновенную дробь [math]\cfrac{P_k}{Q_k} \equiv \biggl[ a_0;\cfrac{b_1}{a_1},\cdots,\cfrac{b_k}{a_k} \biggr] (k = 1,2\cdots)[/math], где [math]k \leqslant n[/math], а [math]P_i, Q_i[/math] - многочлены [math]i[/math]-ой степени

Разложение дробно-рациональной производящей функции

Утверждение:

Дробно-рациональная производящая функция всегда раскладывается в конечную непрерывную дробь.

[math]\triangleright[/math]

Если у нас есть дробно-рациональная производящая функция [math]\; f(x) = \cfrac{c_{10}+c_{11}x+c_{12}x^2+\cdots}{c_{00}+c_{01}x+c_{02}x^2+\cdots},[/math] то в общем случае, будем иметь: [math]\; f(x) = \cfrac{1}{\cfrac{c_{00}}{c_{10}}+\cfrac{c_{00}+c_{01}x+c_{02}x^2+\cdots}{c_{10}+c_{11}x+c_{12}x^2+\cdots}-\cfrac{c_{00}}{c_{10}}} = \cfrac{c_{10}}{c_{00}+xf_1(x)},[/math] где [math]\; f_1(x) = \cfrac{c_{20}+c_{21}x+c_{22}x^2+\cdots}{c_{10}+c_{11}x+c_{12}x^2+\cdots}[/math] и [math]\; c_{2k} = c_{10} \cdot c_{0,\: k+1} - c_{00} \cdot c_{1,\: k+1} \; (k=0,1, \cdots).[/math] Аналогично [math]\; f_1(x) = \cfrac{c_{20}}{c_{10}+xf_2(x)},[/math] где [math]\; f_1(x) = \cfrac{c_{30}+c_{31}x+c_{32}x^2+\cdots}{c_{20}+c_{21}x+c_{22}x^2+\cdots}[/math] и [math]\; c_{3k} = c_{20} \cdot c_{1,\: k+1} - c_{10} \cdot c_{2,\: k+1} \; (k=0,1, \cdots)[/math] и так далее. Таким Образом [math]\; f(x) = \cfrac{c_{10}}{c_{00}+\cfrac{c_{20}x}{c_{10}+\cfrac{c_{30}}{c_{20}+\ldots}}} = \biggl[ 0;\cfrac{c_{10}}{c_{00}},\cfrac{c_{20}x}{c_{10}},\cfrac{c_{30}x}{c_{20}}, \cdots , \cfrac{c_{n0}x}{c_{n-1, \: 0}} \biggr], [/math] При чем легко убедиться, что непрерывная дробь получится конечной.

[math]\triangleleft[/math]

Функция Каталана в виде непрерывной дроби

Рассмотрим Производящую функцию для чисел Каталана

[math]Cat(s) = c_0 + c_1s + c_2s^2 + \cdots = 1 + s + 2s^2 + 5s^3 + \cdots[/math]

Возведя ее в квадрат и умножив результат на s, получим

[math]sCat^2(s) = c^2_0s + (c_0c_1 + c_1c_0)s^2 + (c_0c_2 + c_1c_1 + c_2c_0)s^2 + \cdots == s + 2s^2 + 5s^3 + 14s^4 + \cdots = Cat(s) − 1,[/math]

что дает нам квадратное уравнение на производящую функцию

[math]s^{2}Cat^{2}(s) − Cat(s) + 1 = 0.[/math]

Перепишем это уравнение в виде

[math]Cat(s) - s^{2}Cat^{2}(s)= 1,[/math]

или

[math]Cat(s) = \cfrac{1}{1 - s^{2}Cat^{2}(s)}.[/math]

Подставив выражение для [math]Cat(s)[/math] из левой части равенства в правую часть того же равенства, получим

[math]Cat(s) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{s^{2}}{1 - s^{2}Cat(s)}}.[/math]

Подставляя вновь выражение для [math]Cat(s)[/math] в получившееся равенство и продолжая этот процесс, мы получаем представление для функции Каталана в виде непрерывной дроби:

[math]Cat(s) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{s^{2}}{1 - \cfrac{s^{2}}{1 - \cdots}}}.[/math]

Полученное разложение нужно понимать следующим образом. Если мы оборвем непрерывную дробь на [math]n[/math]-м шаге (оставив вместо нее конечную непрерывную дробь, которая представляет собой рациональную функцию), то коэффициенты разложения полученной функции по степеням [math]s[/math] будут совпадать с коэффициентами разложения функции [math]Cat(s)[/math] вплоть до члена [math]s^{2n}[/math]. Заметим, что из-за наличия множителя [math]s^2[/math] в числителе очередной дроби, присоединяемой на [math](n + 1)[/math]-м шаге, увеличение числа членов в непрерывной дроби не приводит к изменению первых [math]n[/math] коэффициентов в ее разложении. Например,

[math]\cfrac{1}{1 - s^{2}} = \boldsymbol{1 + s^2} + s^4 + s^6 + s^8 + \cdots,[/math]

[math]\cfrac{1}{1 - \cfrac{s^2}{1 - s^2}} = \boldsymbol{1 + s^2 + 2s^4} + 4s^6 + 8s^8 + \cdots,[/math]

[math]\cfrac{1}{1 - \cfrac{s^{2}}{1 - \cfrac{s^{2}}{1 - s^2}}} = \boldsymbol{1 + s^2 + 2s^4 + 5s^6} + 13s^8 + \cdots[/math]

Стабилизирующаяся часть разложения выделена.

Треугольник Дика

Треугольник Дика перечисляет пути в положительном квадранте плоскости, выходящие из начала координат и составленные из векторов [math](1, 1)[/math] и [math](1, −1)[/math].

Изменим несколько треугольник Дика, поставив на стрелках числа. А именно, поставим на каждой стрелке номер того ряда, в котором она находится. Номер на стрелке мы будем интерпретировать как ее кратность, то есть как число различных стрелок, проходящих в данном направлении. В результате одному пути в треугольнике Дика отвечает несколько «различных» путей в треугольнике с кратностями. Их число равно произведению кратностей всех ребер, входящих в данный путь.

Теорема:

Производящая функция [math]F_{0}(s) = 1 + s^2 + 5s^4 + 61s^6 + 1385s^8 + \cdots[/math] для нижней стороны треугольника Дика представляется в виде непрерывной дроби [math]F_{0}(s) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{1^2s^{2}}{1 - \cfrac{2^2s^2}{1 - \cfrac{3^2s^2}{1 - \cdots}}}}.[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Производящая функция [math]F_0(s)[/math] перечисляет различные пути с началом и концом на высоте [math]0[/math]. Обозначим через [math]F_i(s)[/math] производящую функцию, перечисляющую пути с началом и концом на высоте [math]i[/math], которые не опускаются ниже уровня [math]i[/math], по их длине. Тогда [math]F_0(s) = \cfrac{1}{1 - s^2F_1(s)}.[/math] Действительно, каждый путь с началом и концом на высоте [math]0[/math] единственным образом разбивается на такие участки, что Концы пути на каждом участке лежат на высоте [math]0[/math]. Высота всех промежуточных точек пути на каждом участке больше нуля. Если отбросить начальный и конечный отрезок такого участка, то мы получим путь, начинающийся и заканчивающийся на высоте [math]1[/math]. Аналогично, [math]F_1(s) = \cfrac{1}{1 - 4s^2F_2(s)}.[/math] Появление четверки в коэффициенте при [math]s^2[/math] объясняется тем, что к данному пути, начало и конец которого лежат на высоте [math]2[/math], начальный и конечный векторы, превращающие его в путь на высоте [math]1[/math], можно добавить четырьмя «различными» способами. Продолжая это рассуждение, мы заключаем, что [math]F_k(s) = \cfrac{1}{1 - (k+1)^2s^2F_{k+1}(s)},[/math] и непрерывная дробь теперь выписывается очевидным образом: [math]F_0(s) = \cfrac{1}{1 - s^2F_1(s)} = \cfrac{1}{1 - \cfrac{s^2}{1 - 4s^2F_2(s)}} = \cfrac{1}{1 - \cfrac{1s^{2}}{1 - \cfrac{4s^2}{1 - \cfrac{9s^2}{1 - \cdots}}}}.[/math]

[math]\triangleleft[/math]

См. также

• Производящая функция
• Арифметические действия с формальными степенными рядами

Источники информации

• Лекции о производящих функциях
• Непрерывная дробь
• Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. — Изд. 2-е. — М.: Физматлит, 1963. — С. 53—73. — 660 с.