1302
правки
Изменения
м
→Теорема Хаусдорфа: опечатка
Предположим, что <tex>K</tex> {{---}} не вполне ограниченно.
Тогда <tex>\exists \varepsilon_0 > 0\ \forall x_1 \in K\ \exists x_2 \in K: \ \rho(x_1, x_2) > \ge \varepsilon_0</tex>. Если такого <tex>x_2</tex> нет, то
<tex>K</tex> имеет <tex>\varepsilon</tex>-сеть <tex>\{x_1\}</tex>.
Тогда найдётся <tex>x_3:\ \rho(x_3, x_j)\ge \varepsilon_0, j = \overline{1, 2}</tex>. Если бы такого <tex>x_3</tex> не было, то у <tex>K</tex> была бы <tex>\varepsilon</tex>-сеть <tex>\{x_1, x_2\}</tex>.
И так далее. Получаем набор точек <tex>x_1, x_2, \ldots</tex>, <tex>\forall i \ne j: \ \rho(x_i, x_j) > \varepsilon_0</tex>.
2. <tex>K</tex> {{---}} замкнутое и вполне ограниченно.
Рассмотрим любую последовательность <tex>x_n</tex> в <tex>K</tex>. Докажем, что из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Так как множество вполне ограничено, то <tex>\forall \varepsilon</tex> оно будет содержаться в конечном числе объединении шаров радиуса <tex>\varepsilon</tex>.
Рассмотрим последовательность <tex>\ \varepsilon_n = \frac1n</tex>. Она сходится к нулю.
Так как <tex>K</tex> {{---}} вполне ограниченна, то можно найти точки <tex>y_1, y_2, \ldots, y_p</tex> {{---}} <tex>\varepsilon</tex>-сеть для <tex>K</tex>.
