Изменения

Пусть <tex>G</tex> {{---}} связный граф, в котором <tex>2N</tex> вершин имеют нечетную нечётную [[Основные определения теории графов|степень]]. Тогда множество ребер рёбер <tex>G</tex> можно покрыть <tex>N</tex> [[Основные определения теории графов|ребернорёберно-простыми]] путями.

'''Необходимость'''<br/>Докажем, что <tex>G</tex> можно покрыть <tex>N</tex> реберно-простыми путями.<br/> Добавим в граф <tex> N </tex> ребер <tex>uv</tex> такихрёбер, соединив попарно вершины, что <tex>uv</tex> <tex>\notin</tex> <tex>G</tex> и имеющие нечётные степени вершин <tex>u</tex> и <tex>v</tex> нечетные. Тогда степени всех вершин станут четными, и в получим связный граф <tex>G',</tex> появится Эйлеров цикл <tex>c</tex>все вершины которого имеют чётную степень. Такой граф удовлетворяет [[Эйлеровость_графов#.D0.9A.D1.80.D0.B8.D1.82.D0.B5.D1.80.D0.B8.D0.B9_.D1.8D. Удалим из <tex>c</tex> добавленные ребраD0.<br/>Заметим, что теперь цикл распадается на <tex> N </tex> простых путейB9. В самом деле: отметим удаленные ребра в порядке их обхода в Эйлеровом циклеD0. Тогда <tex> c </tex> разбивается на <tex> N </tex> реберно-непересекающихся путей, тBB.кD0. каждый такой путь мы можем сопоставить удаленному ребруB5. Необходимость доказанаD1.  '''Достаточность'''<br/>Докажем, что <tex>G</tex> нельзя покрыть менее, чем <tex>N</tex> реберно-простыми путями80.<br/>Предположим, что такое возможно, и существует набор реберно-простых путей <tex>p_1, p_2, D0.BE.D0. p_k, k < N</tex>, такой что он покрывает все ребра <tex>G</tex>B2.<br/>Пусть <tex>i-</tex>й путь из этого набора имеет вид <tex> w_i = u_{i_0}e_{i_1}u_{i_1}D0.BE.D1.u_{i_l}</tex>81. Добавим в <tex>G</tex> все ребра вида <tex>u_{i_l}u_{{i+1}_0}</tex> и ребро <tex>u_{k_l}u_{1_0}</tex>D1. В новом графе появится Эйлеров цикл, т82.кD0. мы добавили ребра, соединяющие конец B8|критерию эйлеровости]] и начало <tex> i </tex> содержит эйлеров цикл. Рассмотрим этот цикл и удалим из него <tex> i + 1 </tex> пути соответственно. Всего добавлено <tex>kN</tex> добавленных ребер, которые меняют четность не более, чем <tex>2k</tex> вершин. ТG' \backslash G.к. <tex>k < N</tex>, то в графе останутся вершины нечетной степени, что не удовлетворяет критерию Эйлеровости графа.<br/>Противоречие. Значит, такого набора, что его мощность меньше Цикл распадётся на <tex>N</tex>путей, не существует. '''Пример на заданном графе'''<br/>Добавим в наш граф ребра <tex> 2-5которые являются простыми, 4-5 </tex> (для наглядности они помечены пунктиром). Заметимтак как рассматриваемый цикл эйлеров, что у нас есть эйлеров цикл: <tex>1-2-3-4-2-5-1-4-5</tex>. Удалим добавленные ребра и попытаемся пойти в порядке обходапокрывают весь граф, так мы получим 2 реберно-непересекающихся путей : <tex>1-2-3-4-2</tex> и <tex>5-1-4</tex>поэтому полученное разбиение является искомым.

* [[Эйлеров_цикл,_Эйлеров_путь,_Эйлеровы_графы,_Эйлеровость_орграфов|Эйлеров цикл, Эйлеров путь, Эйлеровы графы, Эйлеровость орграфовграфов]]