Фундаментальная матрица

Определение:

Фундаментальной матрицей цепи Маркова называется матрица [math] N = \sum\limits_{i=1}^{\infty} Q^n[/math], где Q - матрица переходов между непоглощающими состояниями.

Теорема:

[math] N = (I - Q) ^ {-1} [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Домножим обе части равенства в определении на [math] (I - Q) [/math]: [math] (I - Q)N = (I - Q)(I + Q + Q^2 + \ldots) = I - Q + Q - Q^2 + Q^3 - Q^3 + \ldots = I[/math] Так как [math] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} Q ^ n = 0 [/math], то ряд действительно сходится. Далее, домножив на [math] (I - Q) ^ {-1} [/math], получим требуемое равенство.

[math]\triangleleft[/math]