Фундаментальная матрица

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Определение:
Фундаментальной матрицей (англ. Fundamental matrix) цепи Маркова называется матрица [math] N = \sum\limits_{i=0}^{\infty} Q^n[/math], где [math]Q[/math]матрица переходов между непоглощающими состояниями, в которой отсутствуют строки с поглощающими состояниями


Теорема:
[math] N = (I - Q) ^ {-1} [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Домножим обе части равенства в определении на [math] (I - Q) [/math]:

[math] (I - Q)N = (I - Q)(I + Q + Q^2 + \ldots) = I - Q + Q - Q^2 + Q^2 - Q^3 + \ldots = I[/math]

Так как [math] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} Q ^ n = 0 [/math], то ряд действительно сходится. Далее, домножив на [math] (I - Q) ^ {-1} [/math], получим требуемое равенство.

Осталось лишь доказать, что матрица [math] (I - Q) ^ {-1} [/math] существует, то есть [math](I - Q) [/math] — невырожденная. Рассмотрим систему линейных уравнений вида:

[math] (I - Q) x = 0 [/math]

[math] Ix = Qx [/math]

[math] x = Qx [/math]

Домножив слева последнее равенство на матрицу [math] Q [/math] слева, получим:

[math] Qx = Q^2x [/math]

Но [math] x = Qx [/math], значит, [math] x = Q^2x [/math]

Аналогично, [math] x = Q^nx [/math] для сколь угодно большого n.

Так как [math] \lim\limits_{n \rightarrow \infty} Q ^ n = 0 [/math], то обязательно [math] x = 0[/math]. Значит, по альтернативе Фредгольма, матрица [math] (I - Q)[/math] — невырожденная.
[math]\triangleleft[/math]

Применение[править]

Фундаментальная матрица задает средние времена, которые марковский процесс проводит в непоглощающих состояниях.

Так же фундаментальная матрица используется при расчете вероятности поглощения в состоянии

Построение матриц переходов[править]

Cоздадим сначала массив [math]\mathtt{position}[/math], где [math]\mathtt{i}[/math]-ый элемент указывает под каким номером будет находиться [math]\mathtt{i}[/math]-ое состояние среди существенных если оно существенное или несущественных в обратном случае, и заполним эти массивы.

Псевдокод[править]

  • [math]\mathtt{position[n]}[/math] — массив нумерации состояний относительно существенной/ несущественной матрицы.
  • [math]\mathtt{Q}[/math] — матрица перехода мужду несущественными состояниями.
  • [math]\mathtt{R}[/math] — матрица перехода из несущественных состояний в поглощающие.
procedure buildTransitionMatrix()
   count_q = 0
   count_r = 0
   for i = 0 to n - 1
      if absorbing[i]
         position[i] = count_r
         count_r++
      else 
         position[i] = count_q
         count_q++
   for i = 0 to m - 1
      if absorbing[transition[i][1]]
         if !absorbing[transition[i][0]]
            R[position[transition[i][0]]][position[transition[i][1]]] = transition[i][2]
      else
         Q[position[transition[i][0]]][position[transition[i][1]]] = transition[i][2]

См.также[править]

Источники информации[править]