689
правок
Изменения
Нет описания правки
Так как <tex> \lim\limits_{n \rightarrow \infty} Q ^ n = 0 </tex>, то ряд действительно сходится.
Далее, домножив на <tex> (I - Q) ^ {-1} </tex>, получим требуемое равенство.
Осталось лишь доказать, что матрица <tex> (I - Q) ^ {-1} </tex> существует, то есть <tex>(I - Q) </tex> - невырожденная. Рассмотрим систему линейных уравнений вида:
<tex> (I - Q) x = 0 </tex>
<tex> Ix = Qx </tex>
<tex> x = Qx | * Q</tex>
<tex> Qx = Q^2x </tex>
Значит, <tex> x = Q^nx </tex> для сколь угодно большого n.
Так как <tex> \lim\limits_{n \rightarrow \infty} Q ^ n = 0 </tex>, то обязательно <tex> x = 0</tex>. Значит, по альтернативе Фредгольма, матрица <tex> I - Q</tex> - невырожденная.
}}
