EM-алгоритм

Определение

Алгоритм EM - алгоритм поиска максимума правдоподобия параметров для решения задач, где некоторые переменные не являются наблюдаемыми.

Алгоритм ищет параметры модели итеративно, каждая итерация состоит из двух шагов:

E(Expectation) шаг, в котором находится распределение скрытых переменных используя значение наблюдаемых переменных и текущего значения параметров.

M(Maximisation) шаг - пересчет параметров, находя максимум правдоподобия исходя из распределения скрытых переменных, полученных на E - шаге.

Задача разделения смеси распределений

Общий алгоритм —

Необходимо описать плотность распределения функции на X как сумму k функций, которые можно рассматривать как элементы параметрического семейства функций [math] p_j(x) = \phi(x;\theta_j)[/math]. Плотность распределения будет выглядеть как
[math]p(x) = \sum\limits_{i=1}^k \omega_j p_j(x); \sum\limits_{i=1}^k w_j = 1; w_j \gt = 0 [/math]
где [math]\omega_j[/math]- априорная вероятность j компоненты распределения. Задача разделения смеси заключается в том, чтобы, имея выборку [math]X^m[/math] случайных и независимых наблюдений из смеси [math]p(x)[/math], зная число [math]k[/math] и функцию [math]\phi[/math], оценить вектор параметров [math]\theta = (\omega_1,..,\omega_k,\theta_1,..,\theta_k)[/math]

E-шаг:

[math]p(x,\theta_j) = p(x)P(\theta_j | x) = w_jp_j(x)[/math]
Введем обозначение: [math] g_{ij} = P(\theta_j | x_i) [/math] это и будут скрытые параметры данной задачи - апостериорная вероятность того, что обучающий объект [math] x_i [/math] получен из [math]j[/math]-й компоненты

По формуле Байеса справедливо равенство:
[math] g_{ij} = \frac{w_jp_j(x_i)}{\sum\limits_{t=1}^k w_t p_t(x_i)}[/math]
Таким образом при зная значение параметров легко найти скрытые переменные.

Перейдем к M-шагу:

Посчитаем для аддитивности логарифм правдоподобия:
[math] Q(\Theta) = ln \prod\limits_{i=1}^mp(x_i) = \sum\limits_{i=1}^m ln\sum\limits_{j=1}^k w_j p_j(x_i) \longrightarrow max[/math]
при условии [math]\sum\limits_{i=1}^k w_j = 1; w_j \gt = 0[/math] имеет смысл рассматривать лагранжиан задачи:
[math]\frac{\partial L} {\partial w_j} = \sum\limits_{i=1}^m \frac{p_j(x_i)}{\sum\limits_{t=1}^kw_tp_t(x_i)} - \lambda = 0[/math]

Умножим на [math]\omega_j[/math] и просумируем уравнения для всех [math]j[/math]

[math]\sum\limits_{j=1}^k \sum\limits_{i=1}^m \frac{w_jp_j(x_i)}{\sum\limits_{t=1}^kw_tp_t(x_i)} = \lambda \sum\limits_{j=1}^kw_j[/math]

Так как можно заменить порядок суммы и [math]\sum\limits_{i=1}^m \frac{w_jp_j(x_i)}{\sum\limits_{t=1}^kw_tp_t(x_i)} = 1[/math] и [math]\sum\limits_{j=1}^kw_j = 1[/math] из чего следует [math]\lambda = m[/math]

[math]\omega_j = \frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^m \frac{w_jp_j(x_i)}{\sum\limits_{t=1}^kw_tp_t(x_i)} = \frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^mg_{ij}[/math]

Приравняв к нулю лагранжиан по [math]\theta_j[/math] схожим способом найдем:

[math] \theta_j = arg \max\limits{\theta}\sum\limits_{i=1}^mg_{ij}ln(\phi(x_i;\theta)) [/math]

Таким образом на M-шаге необходимо взять среднее значение [math]g_{ij}[/math] и решить k независимых оптимизационных задач.

Разделение смеси гауссиан —

Важным на практике примером является случай, когда параметрическое семейство - нормальные распределения. Параметрами функций будут являться матожидание и дисперсия.
[math]\theta = (w_1,..,w_k;\;\mu_1,..,\mu_k;\;\sigma_1,..,\sigma_k)[/math] — вектор параметров,
[math]p_j(x) = N(x;\mu_j, \sigma_j) = \frac1{\sqrt{2\pi}\sigma_j} \exp \biggl(-\frac{(x - \mu_j)^2}{2\sigma_j^2}\biggr) [/math]

k-means как EM алгоритм

Скрытыми переменными в данной задаче являются классы, к которым относятся объекты для кластеризации. Сами же параметры это центры масс классов. На шаге E - распределяются все объекты по классам исходя из расстояния от центра, на шаге M находится оптимальное месторасположение центра.

Аналогично рассматривается и алгоритм c-means. Скрытые переменные здесь будут вероятности принадлежности к классам, которые находятся на E-шаге по расстоянию от центра. Центр так же рассчитывается на M-шаге исходя из скрытых переменных.

См. также

• Кластеризация

Источники информации

1. Математические методы обучения по прецедентам К. В. Воронцов
2. k-means