Коды Прюфера — различия между версиями
(→Алгоритм построения кодов Прюфера) |
|||
(не показано 49 промежуточных версий 8 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | == | + | == Алгоритм построения кодов Прюфера == |
− | Кодирование Прюфера переводит помеченные деревья порядка n в последовательность чисел от 1 до n по алгоритму: | + | Кодирование Прюфера переводит [[Количество помеченных деревьев#Помеченное дерево|помеченные деревья порядка <tex>n</tex>]] в последовательность чисел от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> по алгоритму:<br> |
− | + | Пока количество вершин больше двух: | |
− | + | # Выбирается лист <tex>v</tex> с минимальным номером. | |
− | + | # В код Прюфера добавляется номер вершины, смежной с <tex>v</tex>. | |
− | + | # Вершина <tex>v</tex> и инцидентное ей ребро удаляются из дерева. | |
− | + | <br> | |
− | Полученная последовательность | + | Полученная последовательность называется '''кодом Прюфера''' ''(англ. Prüfer code)'' для заданного дерева. |
+ | |||
+ | {{Лемма | ||
+ | |statement= | ||
+ | Номер вершины <tex>v</tex> встречается в коде Прюфера тогда и только тогда, когда <tex>v</tex> не является листом, причём встречается этот номер к коде дерева в точности <math>\deg v - 1</math> раз. | ||
+ | |proof= | ||
+ | # Вершина с номером <tex>n</tex> не может быть удалена, следовательно на последнем шаге у неё была смежная вершина, и число <tex>n</tex> встретилось в коде. | ||
+ | # Если вершина не является листом, то у неё на некотором шаге была смежная вершина <tex>-</tex> лист, следовательно номер этой вершины встречается в коде. | ||
+ | # Если вершина является листом с номером меньше <tex>n</tex>, то она была удалена до того, как был удален её сосед, следовательно её номер не встречается в коде. | ||
+ | |||
+ | Таким образом, номера всех вершин, не являющихся листьями или имеющих номер <tex>n</tex>, встречаются в коде Прюфера, а остальные <tex>-</tex> нет. | ||
+ | }} | ||
{{Лемма | {{Лемма | ||
|statement= | |statement= | ||
− | По любой последовательности | + | По любой последовательности длины <tex>n - 2</tex> из чисел от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> можно построить помеченное дерево, |
+ | для которого эта последовательность является кодом Прюфера. | ||
|proof= | |proof= | ||
− | Доказательство по индукции | + | Доказательство проведем по индукции по числу <tex>n</tex><br> |
− | База | + | <u>''База индукции:''</u> |
− | < | + | |
− | + | <tex>n = 1</tex> <tex>-</tex> верно. | |
− | + | ||
− | Пусть у нас есть последовательность: < | + | <u>''Индукционный переход:''</u> |
− | Выберем минимальное число < | + | |
+ | Пусть для числа <tex>n</tex> верно, построим доказательство для <tex>n+1</tex>: | ||
+ | |||
+ | Пусть у нас есть последовательность: <tex>A = [a_1, a_2, ..., a_{n - 2}].</tex> | ||
+ | Выберем минимальное число <tex>v</tex> не лежащее в <tex>A</tex>. По предыдущей лемме <tex>v</tex> <tex>-</tex> вершина, которую мы удалили первой. Соединим <tex>v</tex> и <tex>a_1</tex> ребром. Выкинем из последовательности <tex>A</tex> число <tex>a_1</tex>. Перенумеруем вершины, для всех <tex>a_i > v</tex> заменим <tex>a_i</tex> на <tex>a_i - 1</tex>. А теперь мы можем применить предположение индукции. | ||
}} | }} | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
− | Кодирование Прюфера задаёт биекцию между множествами помеченных деревьев порядка <math>n</math> и последовательностями длиной < | + | Кодирование Прюфера задаёт биекцию между множествами помеченных деревьев порядка <math>n</math> и последовательностями длиной <tex>n - 2</tex> из чисел от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> |
|proof= | |proof= | ||
− | + | # Каждому помеченному дереву приведенный алгоритм сопоставляет последовательность. | |
− | + | # Каждой последовательности, как следует из предыдущей леммы, соотвествует помеченное дерево. | |
− | |||
}} | }} | ||
− | + | Следствием из этой теоремы является [[Количество помеченных деревьев|формула Кэли]]. | |
− | Количество | + | |
+ | == Пример построения кода Прюфера == | ||
+ | [[Файл: Prufer.png|500px]] | ||
+ | |||
+ | == Пример декодирования кода Прюфера == | ||
+ | [[Файл: backprufer.png|700px]] | ||
+ | |||
+ | ==См. также== | ||
+ | *[[Связь матрицы Кирхгофа и матрицы инцидентности]] | ||
+ | *[[Матрица Кирхгофа]] | ||
+ | *[[Количество помеченных деревьев]] | ||
+ | *[[Подсчет числа остовных деревьев с помощью матрицы Кирхгофа]] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == Источники информации == | ||
+ | * [http://www.intuit.ru/department/algorithms/graphsuse/11/2.html Университет INTUIT | Представление с помощью списка ребер и кода Прюфера] | ||
+ | |||
+ | [[Категория: Алгоритмы и структуры данных]] | ||
+ | [[Категория: Остовные деревья ]] | ||
+ | [[Категория: Свойства остовных деревьев ]] |
Версия 08:42, 17 октября 2019
Содержание
Алгоритм построения кодов Прюфера
Кодирование Прюфера переводит помеченные деревья порядка в последовательность чисел от до по алгоритму:
Пока количество вершин больше двух:
- Выбирается лист с минимальным номером.
- В код Прюфера добавляется номер вершины, смежной с .
- Вершина и инцидентное ей ребро удаляются из дерева.
Полученная последовательность называется кодом Прюфера (англ. Prüfer code) для заданного дерева.
Лемма: |
Номер вершины встречается в коде Прюфера тогда и только тогда, когда не является листом, причём встречается этот номер к коде дерева в точности раз. |
Доказательство: |
|
Лемма: |
По любой последовательности длины из чисел от до можно построить помеченное дерево,
для которого эта последовательность является кодом Прюфера. |
Доказательство: |
Доказательство проведем по индукции по числу верно. Индукционный переход: Пусть для числа верно, построим доказательство для :Пусть у нас есть последовательность: Выберем минимальное число не лежащее в . По предыдущей лемме вершина, которую мы удалили первой. Соединим и ребром. Выкинем из последовательности число . Перенумеруем вершины, для всех заменим на . А теперь мы можем применить предположение индукции. |
Теорема: |
Кодирование Прюфера задаёт биекцию между множествами помеченных деревьев порядка и последовательностями длиной из чисел от до |
Доказательство: |
|
Следствием из этой теоремы является формула Кэли.
Пример построения кода Прюфера
Пример декодирования кода Прюфера
См. также
- Связь матрицы Кирхгофа и матрицы инцидентности
- Матрица Кирхгофа
- Количество помеченных деревьев
- Подсчет числа остовных деревьев с помощью матрицы Кирхгофа