Случайные графы

Определение:

Биномиальная модель случайного графа (англ. binomial random graph model) [math]G(n, p)[/math] — модель, в которой каждое ребро входит в случайный граф независимо от остальных ребер с вероятностью [math]p[/math]. [math]G(n, p) = (\Omega_n, F_n, P_{n, p})[/math] — вероятностное пространство. [math]|\Omega_n| = 2^{C^2_n}[/math], [math]P_{n, p}(G) = p^m(1 - p)^{C^2_n - m}[/math], где [math]m[/math] — число ребер в графе.

Определение:

Равномерная модель случайного графа (англ. uniform random graph model) [math]G(n, m)[/math] — модель, в которой все графы с [math]m[/math] ребрами равновероятны. [math]G(n, m) = (\Omega_n, F_n, P_{n, m})[/math] — вероятностное пространство. [math]|\Omega_n| = m[/math], [math]P_{n, m}(G) = \dfrac{1}{C^m_n}[/math].

Определение:

Свойство [math]A[/math] ассимптотически почти наверное истинно, если [math]\lim\limits_{n \rightarrow \infty} p(n) = 1[/math]

Определение:

Свойство [math]A[/math] ассимптотически почти наверное ложно, если [math]\lim\limits_{n \rightarrow \infty} p(n) = 0[/math]

Существование треугольников в случайном графе

Теорема:

Если [math]p(n) = o(\dfrac{1}{n})[/math], то [math]G(n, p)[/math] а.п.н не содержит треугольников.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]T[/math] — число треугольников в графе, [math]T_{i,j,k}[/math] — индикаторная случайная величина, равная [math]1[/math], если вершины [math]i[/math], [math]j[/math] и [math]k[/math] образуют треугольник. Воспользуемся неравенством Маркова: [math]P(T \gt 0) = P(T \geqslant 1) \leqslant ET = \sum\limits_{i, j, k}T_{i, j, k}p^3 = C^3_np^3 \sim \dfrac{n^3}{6}p^3 \rightarrow 0[/math], при [math]n \rightarrow \infty[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Если [math]p(n) = \omega(\dfrac{1}{n})[/math], то [math]G(n, p)[/math] а.п.н содержит треугольник.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]T[/math] — число треугольников в графе, [math]T_{i,j,k}[/math] — индикаторная случайная величина, равная [math]1[/math], если вершины [math]i[/math], [math]j[/math] и [math]k[/math] образуют треугольник. Воспользуемся неравенством Чебышева: [math]P(T = 0) = P(T \leqslant 0) = P(ET - T \geqslant ET) \leqslant P(|ET - T| \geqslant ET) \leqslant \dfrac{DT}{(ET)^2}[/math]. Найдем [math]ET^2[/math]: [math]ET^2 = E(\sum\limits_{i, j, k}T_{i, j, k})^2= E(\sum\limits_{i, j, k}(T_{i, j, k})^2) + E(\sum\limits_{i, j, k, a, b, c}T_{i, j, k}T_{a, b, c}) =[/math] [math]= ET + (C^3_nC^3_{n - 3} + C^3_nC^2_{n - 3})p^6 + 3C^3_n(n - 3)p^5 \sim \dfrac{n^3p^3}{6} + (\dfrac{n^6}{36} + \dfrac{n^5}{4})p^6 + \dfrac{n^4}{2}p^5 \sim \dfrac{n^3p^3}{6} + \dfrac{n^6p^6}{36} + \dfrac{n^4p^5}{2} \sim \dfrac{n^3p^3}{6} + \dfrac{n^6p^6}{36}[/math] [math]DT = ET^2 - (ET)^2 \sim \dfrac{n^3p^3}{6} + \dfrac{n^6p^6}{36} - \dfrac{n^6p^6}{36} = \dfrac{n^3p^3}{6}[/math] [math]P(T = 0) \leqslant \dfrac{\dfrac{n^3p^3}{6}}{\dfrac{n^6p^6}{36}} = \dfrac{6}{p^3n^3} \rightarrow 0[/math], при [math]n \rightarrow \infty[/math]

[math]\triangleleft[/math]