Неравенство Маркова

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

Неравенство Маркова[править]

Определение:
Нера́венство Ма́ркова (англ. Markov's inequality) в теории вероятностей дает оценку вероятности, что случайная величина превзойдет по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её математического ожидания. Получаемая оценка обычно груба, однако она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно явным образом.
Теорема (Неравенство Маркова):
Пусть случайная величина [math]X: \Omega \rightarrow \mathbb R_\mathrm+[/math] определена на вероятностном пространстве ([math]\Omega[/math], [math]F[/math], [math]\mathbb R[/math]), и ее математическое ожидание [math] \mathbb E\mathrm |\xi|[/math] конечно. Тогда:
[math]\forall ~x \gt 0~~ \mathbb P\mathrm(|\xi| \geqslant x)\leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} [/math]

где:

[math] x [/math] — константа соответствующая некоторому событию в терминах математического ожидания
[math] \xi [/math] — случайная величина
[math] \mathbb P\mathrm(|\xi| \geqslant x)[/math] — вероятность отклонения модуля случайной величины от [math] x [/math]
[math]\mathbb E\mathrm |\xi|[/math] математическое ожидание случайной величины
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Возьмем для доказательства следующее понятие:

Пусть [math] A[/math] — некоторое событие. Назовем индикатором события [math]A[/math] случайную величину [math]I[/math], равную единице если событие [math]A[/math] произошло, и нулю в противном случае. По определению величина [math]I(A)[/math] имеет распределение Бернулли с параметром:

[math] p = \mathbb P\mathrm (I(A) = 1) = \mathbb P\mathrm (A)[/math],

и ее математическое ожидание равно вероятности успеха [math] p = \mathbb P\mathrm (A) [/math]. Индикаторы прямого и противоположного событий связаны равенством [math]I(A) + I(\overline A) = 1[/math]. Поэтому

[math]|\xi|=|\xi|\cdot I(|\xi|\lt x)+|\xi|\cdot I(|\xi|\geqslant x)\geqslant |\xi|\cdot I(|\xi|\geqslant x)\geqslant x\cdot I(|\xi| \geqslant x)[/math].

Тогда:

[math] \mathbb E |\xi|\geqslant \mathbb E\mathrm(x\cdot I(|\xi|\geqslant x)) = x\cdot \mathbb P\mathrm (|\xi|\geqslant x) [/math].

Разделим обе части на [math]x[/math]:

[math] \mathbb P (|\xi| \geqslant x)\leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} [/math]
[math]\triangleleft[/math]

Пример[править]

Пусть студенты никогда не приходят вовремя, они всегда опаздывают. В среднем они опаздывают на [math]3[/math] минуты. Какова вероятность того, что студент опоздает на [math]15[/math] минут и более? Дать грубую оценку сверху.

[math]\mathbb P\mathrm (|\xi|\geqslant 15)\leqslant \dfrac{3}{15} = 0.2[/math]

Неравенство Чебышева[править]

Определение:
Неравенство Чебышева (англ. Chebyshev's inequality) является следствием неравенства Маркова и утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к значению математического ожидания. Говоря более точно, оно дает оценку вероятности, что случайная величина примет значение, далекое от своего среднего.


Теорема (Неравенство Чебышева):
Если [math]\mathbb E\mathrm \xi^2\lt \mathcal 1[/math], то [math]\forall x \gt 0[/math] будет выполнено
[math]\mathbb P\mathrm (|\xi - \mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x) \leqslant \dfrac {\mathbb D\mathrm \xi}{x^2}[/math]

где:

[math]\mathbb E\mathrm \xi^2[/math] математическое ожидание квадрата случайного события.
[math]E\mathrm \xi[/math] математическое ожидание случайного события
[math] P\mathrm (|\xi - \mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x) [/math] — вероятность отклонения случайного события от его математического ожидания хотя бы на [math] x[/math]
[math] \mathbb D\mathrm \xi [/math]дисперсия случайного события
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Для [math]x\gt 0[/math] неравенство [math]|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x[/math] равносильно неравенству [math](\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \geqslant x^2[/math], поэтому

[math]\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x) = \mathbb P\mathrm((\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \geqslant x^2 ) \leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm(\xi-\mathbb E\mathrm\xi)^2}{x^2} = \dfrac {\mathbb D\mathrm \xi}{x^2}[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Следствие[править]

Как следствие получим так называемое "правило трех сигм", которое означает, что вероятность случайной величины отличаться от своего математического ожидания более чем на три корня из дисперсии мала.

Утверждение:
Если [math]\mathbb E\mathrm \xi^2 \lt \mathcal {1}[/math], то [math]\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \leqslant 3\sqrt{ \mathbb D\mathrm \xi})\geqslant \dfrac {8}{9}[/math].
[math]\triangleright[/math]

Если в доказательстве неравенства Чебышева вместо [math] \geqslant [/math] поставить [math] \gt [/math] рассуждения не изменятся, так как для [math]x\gt 0[/math] неравенство [math]|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \gt x[/math] равносильно неравенству [math](\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \gt x^2[/math], поэтому:

[math]\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi|\gt 3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})\leqslant \dfrac {\mathbb D\mathrm \xi}{(3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})^2} = \dfrac {1} {9}[/math]
Отсюда заметим, что вероятность отклониться значению случайной величины от значения математического ожидания меньше чем [math]\dfrac {1}{9}[/math]
[math]\triangleleft[/math]

См. также[править]

Источники информации[править]