1632
правки
Изменения
м
'''1.''' {{Утверждение|statement=Сумма элементов каждой строки (столбца) матрицы Кирхгофа равна нулю:
'''2.''' {{Утверждение|statement=Определитель матрицы Кирхгофа равен нулю:
Доказательство: |proof=<tex> \det K =
'''3.''' {{Утверждение|statement=Матрица Кирхгофа простого графа симметрична:
'''4.''' {{Утверждение|statement=Связь с [[Матрица смежности графа|матрицей смежности]]:
'''5.''' {{Утверждение|statement=[[Связь матрицы Кирхгофа и матрицы инцидентности|Связь с матрицей инцидентности]]:
'''6.''' <tex>0</tex> является собственным значением матрицы. Доказательство:}}
rollbackEdits.php mass rollback
== Некоторые свойства ==
: <tex>\ \sum_{i=1}^{|V|} k_{i,j} = 0</tex>.
}}
: <tex>\det K=0</tex>
\begin{vmatrix}
k_{1, 1} & k_{1, 2} & \cdots & k_{1, |V|} \\
</tex>
Прибавим к первой строке все остальные строки(это не изменит значение определителя):
<tex>\begin{vmatrix}
\end{vmatrix} = 0
</tex>
}}
: <tex>\ k_{i,j} = k_{j,i}\quad i,j=1, \ldots, |V|</tex>.
}}
:<tex> K =
\begin{pmatrix}
</tex>
где <tex>A</tex> — матрица смежности графа <tex>G</tex>.
}}
:<tex> K = I \cdot I^T, </tex> где <tex>I</tex> — матрица инцидентности некоторой ориентации графа.
{{Утверждение|statement=<tex>0</tex> является [[Собственные векторы и собственные значения|собственным значением]] матрицы, кратность его равна числу [[Отношение связности, компоненты связности|компонент связности]] графа.|proof=Собственным значением матрицы называют значения <tex>\lambda</tex>, которые удовлетворяют уравнению:
<tex>\begin{vmatrix}
</tex>
Прибавим к первой строке все остальные строки(это не изменит значение определителя):
<tex>\begin{vmatrix}
k_{1, 1} + k_{2, 1} + \cdots + k_{|V|, 1} - \lambda & k_{1, 2} + k_{2, 2} + \cdots + k_{|V|, 2} - \lambda & \cdots & k_{1, |V|} + k_{2, |V|} + \cdots + k_{|V|, |V|} - \lambda \\
k_{2, 1} & k_{2, 2} - \lambda & \cdots & k_{2, |V|} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
k_{|V|, 1} & k_{|V|, 2} & \cdots & k_{|V|, |V|}- \lambda
\end{vmatrix}
</tex>
</tex>
Следовательно, <tex>0</tex> является собственным значением. '''Доказательство кратности:''' Пусть дан граф <tex>G</tex> c <tex>n</tex> компонентами связности. Перенумеруем его вершины так, чтобы сначала шли вершины первой компоненты связности, затем второй и т.д. Тогда матрица Кирхгофа примет блочно-диагональный вид, и <tex>i</tex>-тый блок этой матрицы будет являтся матрицей Кирхгофа для <tex>i</tex>-той компоненты связности. Из свойства блочно-диагональной матрицы <tex>\det K = \det K_{1} \cdot \det K_{2} \cdot \ldots \cdot \det K_{n}</tex>, где <tex>K_{i}</tex> — матрица Кирхгофа для <tex>i</tex>-той компоненты связности, и свойства, доказанного выше, <tex>\det K_{i} = - \lambda \cdot det X_{i} \quad \Rightarrow \quad \det K = (-1)^{n} \cdot \lambda^{n} \cdot \det X_{1} \cdot \det X_{2} \cdot \ldots \cdot \det X_{n}</tex> }}
==См. также==
*Асанов М., Баранский В., Расин В.: Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. стр. 18
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%CC%E0%F2%F0%E8%F6%E0_%CA%E8%F0%F5%E3%EE%F4%E0 Википедия, — Матрица Кирхгофа]
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Остовные деревья ]][[Категория: Свойства остовных деревьев ]]
