Классы NP, coNP, Σ₁, Π₁ — различия между версиями
Iloskutov (обсуждение | вклад) м (→Связь P и NP) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показано 13 промежуточных версий 6 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
== Определения, связь Σ₁ и NP == | == Определения, связь Σ₁ и NP == | ||
{{Определение | {{Определение | ||
− | |definition=<tex>\mathrm{NP}=\!\!\bigcup\limits_{p(n) \in poly}\!\!\operatorname{NTIME}(p(n))</tex>. | + | |id=def1 |
+ | |definition=<tex>\mathrm{NP}=\!\!\bigcup\limits_{p(n) \in \mathit{poly}}\!\!\operatorname{NTIME}(p(n))</tex>. | ||
}} | }} | ||
То есть <tex>\mathrm{NP}</tex> — это множество языков, разрешимых [[Недетерминированные вычисления|недетерминированной программой]] за полиномиальное время. | То есть <tex>\mathrm{NP}</tex> — это множество языков, разрешимых [[Недетерминированные вычисления|недетерминированной программой]] за полиномиальное время. | ||
Строка 9: | Строка 10: | ||
То есть <tex>\mathrm{coNP}</tex> — это множество языков, дополнение к которым лежит в <tex>\mathrm{NP}</tex>. | То есть <tex>\mathrm{coNP}</tex> — это множество языков, дополнение к которым лежит в <tex>\mathrm{NP}</tex>. | ||
{{Определение | {{Определение | ||
− | |definition=<tex>\mathrm{\Sigma_1}=\{L\bigm|\exists R(x,y)\in \tilde{\mathrm{P}}, p(n) \in poly : x\in L\Leftrightarrow\exists y : |y|\leqslant p(|x|), R(x,y)=1\}</tex>. | + | |definition=<tex>\mathrm{\Sigma_1}=\{L\bigm|\exists R(x,y)\in \tilde{\mathrm{P}}, p(n) \in \mathit{poly} : x\in L\Leftrightarrow\exists y : |y|\leqslant p(|x|), R(x,y)=1\}</tex>. |
}} | }} | ||
Нестрого говоря, <tex>\mathrm{\Sigma_1}</tex> — это множество языков, для которых существует работающая за полиномиальное время детерминированная программа-верификатор <tex>R(x,y)</tex>, а для каждого слова из языка (и только для слова из языка) можно предъявить сертификат полиномиальной длины, подтверждающий принадлежность слова языку и проверяемый верификатором. | Нестрого говоря, <tex>\mathrm{\Sigma_1}</tex> — это множество языков, для которых существует работающая за полиномиальное время детерминированная программа-верификатор <tex>R(x,y)</tex>, а для каждого слова из языка (и только для слова из языка) можно предъявить сертификат полиномиальной длины, подтверждающий принадлежность слова языку и проверяемый верификатором. | ||
{{Определение | {{Определение | ||
− | |definition=<tex>\mathrm{\Pi_1}=\{L\bigm|\exists R(x,y)\in \tilde{\mathrm{P}}, p(n) \in poly : x\in L\Leftrightarrow\forall y : |y|\leqslant p(|x|), R(x,y)=1\}</tex>. | + | |definition=<tex>\mathrm{\Pi_1}=\{L\bigm|\exists R(x,y)\in \tilde{\mathrm{P}}, p(n) \in \mathit{poly} : x\in L\Leftrightarrow\forall y : |y|\leqslant p(|x|), R(x,y)=1\}</tex>. |
}} | }} | ||
То есть <tex>\Pi_1</tex> — это множество языков, для которых существует работающая за полиномиальное время детерминированная программа-верификатор <tex>R(x,y)</tex>, а для каждого слова из языка (и только для слова из языка) нельзя предъявить сертификат длины, ограниченной неким полиномом, опровергающий принадлежность слова языку и проверяемый верификатором. Легко видеть, что <tex>\Pi_1</tex> — множество языков, дополнения к которым лежат в <tex>\Sigma_1</tex>. | То есть <tex>\Pi_1</tex> — это множество языков, для которых существует работающая за полиномиальное время детерминированная программа-верификатор <tex>R(x,y)</tex>, а для каждого слова из языка (и только для слова из языка) нельзя предъявить сертификат длины, ограниченной неким полиномом, опровергающий принадлежность слова языку и проверяемый верификатором. Легко видеть, что <tex>\Pi_1</tex> — множество языков, дополнения к которым лежат в <tex>\Sigma_1</tex>. | ||
Строка 43: | Строка 44: | ||
Пусть <tex>p</tex> разрешает <tex>L_1</tex>, а <tex>q</tex> разрешает <tex>L_2</tex>. | Пусть <tex>p</tex> разрешает <tex>L_1</tex>, а <tex>q</tex> разрешает <tex>L_2</tex>. | ||
− | :1. Построим программу <tex>r</tex>, разрешающую <tex>L_1\cap L_2</tex>: | + | :1. Построим программу <tex>r</tex>, разрешающую <tex>L_1\cap L_2</tex> за полиномиальное время: |
<tex>r(x)\colon</tex> | <tex>r(x)\colon</tex> | ||
'''return''' <tex>p(x)</tex> '''and''' <tex>q(x)</tex> | '''return''' <tex>p(x)</tex> '''and''' <tex>q(x)</tex> | ||
− | :2. Построим программу <tex>r</tex>, разрешающую <tex>L_1\cup L_2</tex>: | + | :2. Построим программу <tex>r</tex>, разрешающую <tex>L_1\cup L_2</tex> за полиномиальное время: |
<tex>r(x)\colon</tex> | <tex>r(x)\colon</tex> | ||
'''return''' <tex>p(x)</tex> '''or''' <tex>q(x)</tex> | '''return''' <tex>p(x)</tex> '''or''' <tex>q(x)</tex> | ||
− | :3. Построим программу <tex>r</tex>, разрешающую <tex>L_1L_2</tex>: | + | :3. Построим программу <tex>r</tex>, разрешающую <tex>L_1L_2</tex> за полиномиальное время: |
<tex>r(x)\colon</tex> | <tex>r(x)\colon</tex> | ||
<tex>n = |x|</tex> | <tex>n = |x|</tex> | ||
<tex>mid \gets?\ \{1 \mathinner{\ldotp\ldotp} n\}</tex> | <tex>mid \gets?\ \{1 \mathinner{\ldotp\ldotp} n\}</tex> | ||
'''return''' <tex>p(x[1 \mathinner{\ldotp\ldotp} mid])</tex> '''and''' <tex>q(x[mid+1 \mathinner{\ldotp\ldotp} n])</tex> | '''return''' <tex>p(x[1 \mathinner{\ldotp\ldotp} mid])</tex> '''and''' <tex>q(x[mid+1 \mathinner{\ldotp\ldotp} n])</tex> | ||
− | :4. Построим программу <tex>r</tex>, разрешающую <tex>L_1^*</tex>: | + | :4. Построим программу <tex>r</tex>, разрешающую <tex>L_1^*</tex> за полиномиальное время: |
<tex>r(x)\colon</tex> | <tex>r(x)\colon</tex> | ||
<tex>n = |x|</tex> | <tex>n = |x|</tex> | ||
Строка 85: | Строка 86: | ||
=== Язык гамильтоновых графов === | === Язык гамильтоновых графов === | ||
− | {{main| | + | {{main|NP-полнота задач о гамильтоновом цикле и пути в графах}} |
+ | Рассмотрим следующий язык: <tex>\mathrm{HAM} = \{ G \mid G</tex> содержит гамильтонов цикл<tex>\}</tex>. Он разрешается следующей программой, работающей за полиномиальное относительно числа вершин время: | ||
<tex>r(G)\colon</tex> | <tex>r(G)\colon</tex> | ||
<tex>n = |V(G)|</tex> | <tex>n = |V(G)|</tex> | ||
Строка 105: | Строка 107: | ||
=== TAUT === | === TAUT === | ||
+ | {{main|Теорема Бермана — Форчуна}} | ||
Язык булевых формул, являющихся тавтологиями. К этому языку тривиально сводится дополнение к <tex>\mathrm{SAT}</tex>: если отрицание формулы невыполнимо, то она является тавтологией, и наоборот. | Язык булевых формул, являющихся тавтологиями. К этому языку тривиально сводится дополнение к <tex>\mathrm{SAT}</tex>: если отрицание формулы невыполнимо, то она является тавтологией, и наоборот. | ||
Строка 118: | Строка 121: | ||
!Принадлежит <tex>\mathrm P</tex>||<tex>\mathrm{NP}</tex>-полная | !Принадлежит <tex>\mathrm P</tex>||<tex>\mathrm{NP}</tex>-полная | ||
|- | |- | ||
− | |[[Обход_в_ширину|Поиск самых коротких простых путей]]||[//en.wikipedia.org/wiki/Longest_path_problem | + | |[[Обход_в_ширину|Поиск самых коротких простых путей]]||Поиск самых длинных простых путей<ref>[//en.wikipedia.org/wiki/Longest_path_problem Longest path problem - Wikipedia]</ref> |
|- | |- | ||
− | |[[Эйлеров_цикл,_Эйлеров_путь,_Эйлеровы_графы,_Эйлеровость_орграфов|Эйлеров цикл]]||[[ | + | |[[Эйлеров_цикл,_Эйлеров_путь,_Эйлеровы_графы,_Эйлеровость_орграфов|Эйлеров цикл]]||[[NP-полнота задач о гамильтоновом цикле и пути в графах|Гамильтонов цикл]] |
|- | |- | ||
− | |[ | + | |[[2SAT|2-CNF выполнимость]]||[[Примеры NP-полных языков#NP-полнота 3-SAT|3-CNF выполнимость]] |
|} | |} | ||
+ | |||
+ | == См. также == | ||
+ | * [[Недетерминированные вычисления]] | ||
== Примечания == | == Примечания == | ||
<references/> | <references/> | ||
− | |||
− | |||
− | [[Категория: | + | [[Категория: Классы сложности]] |
− | [[Категория: | + | [[Категория: Детерминированные и недетерминированные вычисления, сложность по времени и по памяти ]] |
+ | [[Категория: Классы P и NP, NP-полнота]] |
Текущая версия на 19:17, 4 сентября 2022
Содержание
Определения, связь Σ₁ и NP
Определение: |
. |
То есть недетерминированной программой за полиномиальное время.
— это множество языков, разрешимыхОпределение: |
. |
То есть
— это множество языков, дополнение к которым лежит в .Определение: |
. |
Нестрого говоря,
— это множество языков, для которых существует работающая за полиномиальное время детерминированная программа-верификатор , а для каждого слова из языка (и только для слова из языка) можно предъявить сертификат полиномиальной длины, подтверждающий принадлежность слова языку и проверяемый верификатором.Определение: |
. |
То есть
— это множество языков, для которых существует работающая за полиномиальное время детерминированная программа-верификатор , а для каждого слова из языка (и только для слова из языка) нельзя предъявить сертификат длины, ограниченной неким полиномом, опровергающий принадлежность слова языку и проверяемый верификатором. Легко видеть, что — множество языков, дополнения к которым лежат в .Теорема: |
. |
Доказательство: |
.
return
.
|
Примечание: определение
часто называют также «определением на языке сертификатов», а , соответственно, «определением на языке сертификатов».Свойства
Теорема: |
Пусть . Тогда:
|
Доказательство: |
Пусть разрешает , а разрешает .
return and
return or
return and
do if not return false while return true
|
Примеры языков из NP
Язык палиндромов
Этот язык разрешается автоматом с магазинной памятью, то есть принадлежит
, а следовательно, и .Язык задачи о раскраске вершин графа в цветов
Переформулируем задачу в терминах принадлежности языку: пусть
вершины можно раскрасить в цветов .Этот язык разрешается следующей недетерминированной программой за полиномиальное относительно числа вершин и рёбер время:
for in if == return false return true
Язык гамильтоновых графов
Рассмотрим следующий язык:
содержит гамильтонов цикл . Он разрешается следующей программой, работающей за полиномиальное относительно числа вершин время:for in if return false for to if return false return true
Два последних языка также являются . По -полнымитеореме Ладнера, если , то существует язык из , не являющийся -полным.
Примеры языков из coNP
Язык графов, не являющихся гамильтоновыми
Этот язык принадлежит
, так как является дополнением к языку гамильтоновых графов, принадлежащему , как показано выше.TAUT
Язык булевых формул, являющихся тавтологиями. К этому языку тривиально сводится дополнение к
: если отрицание формулы невыполнимо, то она является тавтологией, и наоборот.Связь P и NP
Очевидно, что редкий ; было доказано, что -полный языкдоказательство должно быть нерелятивизующимся. Кроме того, были предприняты различные попытки найти полиномиальные решения для задач из :
, так как детерминированные программы можно рассматривать как недетерминированные, в которых не используется недетерминированный выбор. Вопрос о равенстве данных классов до сих пор остается открытым. Были осуществлены различные подходы к разрешению этой задачи: попытка найтиНекоторые задачи из
очень похожи на задачи из , при этом различие между задачами кажется совершенно незначительным:Принадлежит | -полная |
---|---|
Поиск самых коротких простых путей | Поиск самых длинных простых путей[3] |
Эйлеров цикл | Гамильтонов цикл |
2-CNF выполнимость | 3-CNF выполнимость |